| English | 意味 |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 離散分布 |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | 確率母関数 |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | 係数 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 分散 |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 微分 |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | 独立 |
単一の関数による分布
- 離散分布は確率のリストである — 操作するのが煩雑だ。
- 確率生成関数 (PGF) はリスト全体を1つの整理された関数にまとめ、難しい確率の和を簡単な微積分に変換する。
確率生成関数の実験
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
xを変化させ、PGFがxのべき乗で確率をどのように格納するかを確認する。
PGF の定義
- 離散変数 $X$ が $0, 1, 2, \dots$ の値をとる場合:
- $t^x$ の係数はちょうど $P(X = x)$ である — 関数が分布を暗記している。
確率生成関数はすべての確率を係数として格納している
Xの確率生成関数は以下のように定義される：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
導関数からの平均と分散
- 微分して $t = 1$ で評価する：
計算例。 $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$。次に $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ なので、$E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$。
XのG(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t²とする。E(X) = G′(1) かつ G′(t) = 0.3 + 0.4t であるとき、E(X)はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
平均は PGF から E(X) = G′(______) で求める。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
E(X) = G'(1).
独立変数の和
- 最も有用な性質：独立な変数の和の PGF はそれらの PGF の積である：
- これにより、独立な変数の加算（複数のサイコロの合計など）がほぼ楽々行える。
有効なPGFについて、G(1) の値はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
G(1) = Σ P(X=x) = 1 である。なぜなら、確率はすべて足して1になるからである。
2つの独立変数の和のPGFは、それぞれのPGFの積である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
独立なXとYについて、G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t)。
有効な PGF か確認する
$G(1)$ は 1 でなければならない。 $G(1) = \sum P(X = x)$ であるため、有効な PGF は常に $G(1) = 1$ を与える — 微分する前の quick sanity check。
理解できましたか
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$（および $G(1) = 1$）
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- 独立な変数の和の PGF はそれらの PGF の積である