| English | 意味 |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | 標本 |
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | 分布 |
| variance/ˈveərɪəns/ | 分散 |
| tail/teɪl/ | テール |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | 信頼区間 |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | 自由度 |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | 標準誤差 |
| paired/peəd/ | 対 |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | 統合推定値 |
Small samples 样本, honest uncertainty
- With a huge sample you can use the normal distribution 分布. But with only, say, 8 measurements and an unknown spread, the normal is too confident.
- William Gosset, brewing at Guinness, invented the $t$-distribution to handle exactly this — small samples with unknown variance 方差.
When to use the t-distribution
- Use the $t$-distribution when the sample is small and the population variance is unknown (you estimate it with the sample's $s$).
- It is bell-shaped like the normal but with heavier tails 尾部 — wider, to admit the extra uncertainty.
The t-distribution is bell-shaped like the normal but with heavier tails; as the sample grows it approaches the normal.
推論と正規曲線
P(Z < z)
検定や信頼区間は正規曲線下の面積として読み取れ、z を動かして求める。
正規分布ではなく t 分布を使うべき状況は：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
小標本で σ が不明な場合 → s で推定し t を用いる。
t 分布は正規分布よりも尾が太い。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
分散の推定に伴う追加の不確実性を反映しており、n が大きくなると t 分布は正規分布に近づく。
Confidence interval 置信区间 for the mean
- A confidence interval for the population mean:
- $t$ comes from the $t$-tables with $n - 1$ degrees of freedom 自由度; $\dfrac{s}{\sqrt n}$ is the standard error 标准误.
単一標本 n = 10 において、t 値の自由度はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
自由度 = n − 1 = 9。
s/√n という量は標準 ______ と呼ばれる。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
平均の標準誤差は s/√n である。
Worked example
- A sample of $n = 10$ has $s = 4$; for 95% with 9 degrees of freedom, $t = 2.262$.
- Margin $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 dp).
The t-distribution has a lower peak and heavier tails than the normal
標本 n = 10、s = 4 のとき、t = 2.262 で margin t × s/√n はいくつか。（小数点以下2桁）
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
2.262 × 4/√10 = 2.262 × 1.265 = 2.86.
Comparing two populations
- A 2-sample or paired 配对 $t$-test compares two populations.
- When the two are assumed to share a variance, combine them into a pooled estimate 合并估计 of $s^2$.
Degrees of freedom, not $n$. The $t$-value uses $n - 1$ degrees of freedom, not $n$. Reading the wrong row of the table is the most common error.
- For a small sample, base a hypothesis test on the $t$-distribution: a 2-sample t-test or a paired sample t-test.
You've got it
- small sample + unknown variance → use the $t$-distribution ($n-1$ degrees of freedom)
- CI for the mean: $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, with standard error $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- compare two populations with a 2-sample or paired $t$-test (pool the variance when shared)