| English | 意味 |
|---|---|
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | 水平 |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | 垂直 |
| gravity/ˈɡrævɪti/ | 重力 |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | 投射体 |
| parabola/pəˈræbələ/ | 放物線 |
| range/reɪndʒ/ | 射程 |
| greatest height/ˈɡreɪtɪst haɪt/ | 最大高度 |
砲弾の問題
- 斜めに球を打ち上げると、滑らかな弧を描いて着地します。どこに、どれほどの高さまで届くか？
- ガリレオの洞察：水平方向と垂直方向の運動を完全に別々に扱うこと——両者は時間だけ共用しています。
独立した2つの運動
- 速度 $u$ と角度 $\alpha$ で発射された場合：
- 水平方向：横方向の力がないため、一定の速度 $u\cos\alpha$ を維持します。
- 垂直方向：重力のみが働き、下向きの加速度 $g$ があります。
水柱は放物線を描き、重力下での古典的な投射体運動を示します
投射体を発射する
ボールを打ち上げ、角度と速度を変えてみろ。水平方向の運動は一定で、重力が下向きに引く——これらを合わせると放物線が描かれる。最長飛距離となる角度を探してみよう。月面でも試してみよう。
飛行中、空気抵抗を無視したときの投射体の水平速度について：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
水平方向に力が働かないので、u cos α は全体を通して一定である。
速さ u、仰角 α で発射された投射体の初期水平速度は u ______ α である。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
水平成分 = u cos α；垂直成分 = u sin α。
放物線
- $t$ を除外すると $y$ は $x$ に関する二次式となるため、軌跡は放物線となる。
水平方向の速度は一定のまま、重力が垂直方向の運動を放物線に曲げます。
投射体の軌跡（空気抵抗なし）は次のどれか：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
パラメータtを消去すると、yはxの二次式となり——放物線となる。
射程と最大高度
- 最高点では垂直方向の速度が一瞬ゼロになります。重要な結果：
** worked example（例題）。** $u = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$。最大高度 $= \dfrac{400 \times 0.25}{20} = 5\ \text{m}$。
ボールを u = 20 m/s、仰角 30° で投げた。高さ = u²sin²α/(2g)、g = 10 を用いて、最大高さを求めよ（単位：m）。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
400 × sin²30° / 20 = 400 × 0.25 / 20 = 5 m。
飛距離が最大になる発射角度（度）はいくつか？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
飛距離 ∝ sin 2α であり、2α = 90°、すなわち α = 45° のとき最大となる。
飛行の最高点において、垂直成分の速度はゼロである。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
頂点まで垂直速度はゼロに減少し、その後負（下向き）となる。
よくある罠
射程は$45^\circ$で最大化され、$90^\circ$ではない。 $\sin 2\alpha$は$2\alpha = 90^\circ$のときに最大値をとる。真上へ発射すると射程はゼロになる — 全速度が高さに変換されるだけだ。
- 時間を消去すると軌道のカルテシアン方程式が得られ、すべての軌道は包络放物線の下に位置します。
理解できましたか
- 水平方向 ($u\cos\alpha$, 一定) と 垂直方向 ($u\sin\alpha$, 重力) に分解する
- 軌道は放物線である
- 射程 $= \dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ ($45^\circ$ で最大); 最大高度 $= \dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$