積分（Further Pure 2）

語彙

English	意味
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原関数
standard form/ˈstændəd fɔːm/	標準形
substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	置換
hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/	双曲
trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/	三角
surd/sɜːd/	根号
reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/	降次公式
arc length/ɑːk leŋθ/	弧長

逆積分

一部の積分には、明らかな原関数が存在しないことがあります——ただし、標準形や適切な置換法を見つければ解決できます。
Further Pure 2では、逆三角関数の標準積分、三角関数/双曲関数の置換法、および降次公式といったツールキットを提供します。

標準積分

暗記しておくべき結果が2つあります：

$$\int \frac{1}{a^2 + x^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\,dx = \sin^{-1}\frac{x}{a} + C$$

積分の形に一致させ、 $a$ を読み取り、答えを記述します。

定積分は曲線下の面積を表します

探索

曲線下の面積

area = ∫ f(x) dx

すべての積分は曲線下の面積を測る—— limits をドラッグせよ。

実践

∫ 1/(a² + x²) dx の値は何か？

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

(1/a) tan⁻¹(x/a) + C
sin⁻¹(x/a) + C
ln(a² + x²) + C
a tan⁻¹(ax) + C

実践

∫ 1/√(4 − x²) dx の値は何か？

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

sin⁻¹(x/2) + C
tan⁻¹(x/2) + C
√(4 − x²) + C
ln(4 − x²) + C

実践

各積分をその結果と対応させよ。

難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

マッチを選択し、その移動先を選んでください。2つのマッチを選択して交換できます。ESCキーで選択をクリアします。また、マッチをドラッグすることも可能です。

(1/a)tan⁻¹(x/a) + C

sin⁻¹(x/a) + C

ln|x| + C

∫ 1/(a²+x²) dx
∫ 1/√(a²−x²) dx
∫ 1/x dx

置換反応

三角関数による置換（$x = a\sin\theta$ または $x = a\tan\theta$）により、根号または二次式の分母を単純な形に変換できます。
双曲関数による置換（$x = a\sinh u$）は $\sqrt{a^2 + x^2}$ の処理に適しています。

Example

** worked example.** $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$。ここで $a^2 = 9$ なので、 $a = 3$ ：答えは $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$ です。

実践

∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C において、a は何か？

難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

降次公式

降次公式は、ある積分 $I_n$ をより低い次数の積分 $I_{n-1}$ （または $I_{n-2}$ ）と結びつけます。
これを繰り返して適用することで、直接積分できる基本ケースまで下りていきます。

Watch out

境界値を忘れないでください。 定積分の場合、降次公式における境界項は毎回境界値で評価されます——符号や係数を誤って失いやすいポイントです。

実践

降次公式は、積分 Iₙ を Iₙ₋₁ で結ぶことで、段階的に下げて計算できるものがある。

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

応用例

積分はまた、曲線そのものを計測することにも使われます：
弧長： $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ 。
回転体表面積： $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ 。
分母の平方完成、三角関数による置換、双曲関数を用いて積分を行ってください。

実践

弧長は √(1 + (______)²) dx の積分である。

難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与

理解できましたか

Key idea

$\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
根号や二次式の分母に対しては、三角関数/双曲関数の置換法を使用する
降次公式で $I_n$ を $I_{n-1}$ まで下げ、積分によって弧長や表面積も求められます