| English | 意味 |
|---|---|
| catenary/kæˈtiːnəri/ | 鎖鉤曲線 |
| hyperbolic function/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃn/ | 双曲関数 |
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | 指数関数 |
| identity/aɪˈdentɪti/ | 恒等式 |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | 微分 |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 逆関数 |
チェーンから垂れる曲線
- 吊り下げられたチェーンはカテナリー曲線を形成します — 放物線ではなく、$\cosh x$ のグラフです。
- 双曲関数は指数関数から定義され、 suspension bridge（吊り橋）、電力線、そして一般相対性理論における宇宙の形状など、あらゆる場所で見られます。
定義
- 指数関数から構成されます：
** worked example（例題）.** $\cosh 0 = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. $\sinh 0 = \dfrac{1 - 1}{2} = 0$. よってカテナリ曲線は原点ではなく $(0, 1)$ を通ります。
coshとsinhはe^xとe^-xの平均値および半分の差です
双曲線関数
y = a cosh(x)
cosh はカテナリー曲線（吊り下げられた鎖）であり、(0, a) で最小値をとる。
cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 を用いて、cosh 0 の値を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
cosh 0 = (e⁰ + e⁰)/2 = (1 + 1)/2 = 1。
sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2 を用いて、sinh 0 の値を求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
sinh 0 = (1 − 1)/2 = 0。
主要な恒等式
- 主要な恒等式: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ （$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ と比較すること）。
- 加法定理：$\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$ 。
** 符号に注意。これは「＋」ではなく「－」です。** 恒等式は $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ （マイナス）であり、 $\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$ （プラス）ではありません。これが三角関数の恒等式との決定的な違いです。
垂下したケーブルはカテナリ曲線を形成し、双曲余弦 y = a cosh(x/a) の曲線となります
任意の x に対して、cosh²x − sinh²x の値は何か？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
双曲線の恒等式は cosh²x − sinh²x = 1 である。
恒等式 cosh²x + sinh²x = 1 は正しい。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
正しい恒等式は cosh²x − sinh²x = 1 である（プラスではなくマイナス）。
導関数
- $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$ , $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ （マイナス記号はありません！）。
- $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.
sinh x の導関数は：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
d/dx(sinh x) = cosh x （三角関数の導関数 d/dx(sin x) = cos x と異なり、マイナス符号はない）。
cosh x の導関数は：
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
d/dx(cosh x) = sinh x （d/dx(cos x) = −sin x と異なり、マイナス符号はない）。
逆双曲関数
- 逆形式は対数形です：
- $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
- $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ for $x \geq 1$ .
理解できましたか
- $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- 主要な恒等式：$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- 逆双曲関数は 対数形 を持ちます