ベクトル（Further Pure 1）

3D空間の数学

• 点から平面までの距離、2つの曲面のなす角、2本のねじれた直線間の最短経路はどのように求めますか？
• 平面とベクトル積はこれらの問題を解くためのツールを提供します — エンジニアリング、建築、コンピュータグラフィックスに不可欠です。

平面の方程式

• 平面は複数の形式で表せます:

法線ベクトル n は平面に垂直です；スカラー積形式は n·r = d です。

• カートesian座標: $ax + by + cz = d$
• ベクトル: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (ここで $\mathbf{n}$ は法線ベクトル)
• パラメトリック: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$

ベクトル（外）積

• ベクトル積 $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$ は両方に対して垂直なベクトルを生成します。
• その長さは、$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が張る平行四辺形の面積に等しい。

風や水圧などの力は、大きさと方向を持つベクトルです

応用例

• スカラー積とベクトル積を使って、距離、角度、直線と平面の交点、およびねじれた直線間の最短距離を求められます。
• 点から平面までの距離: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$。

ベクトル積は両方のベクトルに垂直で、その長さは平行四辺形の面積です

法線の求め方

• 2つのベクトル $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ を含む平面の法線は $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$ です。
• これはパラメトリック形式からカートesian方程式を求める最も迅速な方法です。

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