| English | 意味 |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | 行列 |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | 変換 |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | 単位行列 |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | 行列式 |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | 逆行列 |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | 特異 |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | 不変 |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | 拡大 |
コンピュータグラフィックスを駆動する数学
- スマホで画像を回転させるたびに、背景で行列の掛け算が行われています。
- 行列 は変換の言語です。回転、反射、伸縮、投影などを単一のコンパクトなオブジェクトで記述します。
行列の基本
- 行列 は数字の長方形ブロックです。行 × 列を掛けて計算します。
- 単位行列 $I$ は行列を変化させず：$AI = IA = A$。
worked example. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
行列
(x', y') = M(x, y)
行列 変換 は平面を変換し、その行列式は面積の拡大率（負の値は反転）を表す。
[[1, 2], [3, 4]] を [[5], [6]] と掛け算する。結果の最上成分は？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
2x2 行列 [[a,b],[c,d]] の逆行列を求める手順を並べ替えよ。
難易度 3/5 · 200 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
逆行列は (1/det)[[d,−b],[−c,a]] —— 対角成分を入れ替え、非対角成分の符号を反転させ、det で割る。
行列式と逆行列
- $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して：行列式 は $\det A = ad - bc$ です。
- $\det A \neq 0$ （非特異）の場合、逆行列 は $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ です。
特異行列には逆行列がありません。 $\det A = 0$ の場合、行列は 特異 です — 平面を直線に潰し、取り戻せない情報を失います。
行列 [[3, 1], [2, 4]] の行列式（ad − bc）は？
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10。
2×2 行列が逆行列を持つ条件として正しいのは:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
非特異行列（det ≠ 0）は可逆であり、det = 0 のとき特異（逆行列なし）となる。
A = [[3, 1], [2, 4]] で det = 10 のとき、A⁻¹ の左上成分は d/det である。これを求めよ。
難易度 2/5 · 140 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]。左上 = 4/10 = 0.4。
変換としての行列
- $2\times2$ 行列は平面の 変換 を表し、$\det A$ = 面積拡大率。
2x2行列は単位正方形を平行四辺形に写像し、その行列式は面積拡大率である。
- 積 $AB$ は「$B$ を行ってから $A$ を行う」ことを意味する。動かない点や線は 不変 である。
変換行列において、行列式は次のうち何を与えるか:
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
行列式は、変換によって面積が何倍になるかの倍率である。
行列 A と B について、積 AB は「まず B を行い、次に A を行う」ことを意味する。
難易度 1/5 · 100 コイン + 今日初回完了時に小ボーナス付与
行列の乗算は右から左に適用される：AB(x) = A(B(x)) なので、B が最初に作用する。
一般的な変換
| 行列 | 変換 |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | $y$ 軸についての反射 |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | $90°$ の反時計回りの回転 |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | 拡大率 $k$ の拡大 |
- 行列の加算、零行列、単位行列（または单位行列）、および変換の 不変点 と 不変直線 を知っておく。
理解できましたか
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; $\det \neq 0$ のとき可逆
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- 行列式は変換です。$\det$ = 面積拡大率；$AB$ = 「$B$を実行してから、$A$を実行する」