有理関数とグラフ

ルールを破るグラフ

• これまで出会った大半の関数は多項式であり、滑らかで連続的 everywhere で定義されている。しかし、ある多項式を別の多項式で割ると、より複雑なものが生まれる：垂直漸近線、斜め漸近線、分母の零点付近で挙動が劇的に変わるなどである。
• 有理関数は、より複雑な曲線を理解するための入り口である。

有理関数とは何か？

• 有理関数とは、2つの多項式の分数 : $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 。
• 分母の零点は垂直渐近线（関数が $\pm\infty$ に発散する点）を与える。

斜め（スラント）渐近线

• 分子の次数が分母より高い場合、グラフには斜め（スラント）渐近线が存在する — 多項式の割り算で見つける。
• 余り項は $x \to \infty$ として消滅し、商が渐近线となる。

この曲線は原点から遠ざかるほど、垂直渐近线 x=2 と斜め渐近线 y=x+2 に密着していく。

関連するグラフ

• $y = f(x)$ を以下と関連させるべきです：
  • $y^2 = f(x)$ — $f(x) \geq 0$ が存在する場所でのみ存在し、$x$ 軸について対称。
  • $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — 零点が漸近線に、漸近線が零点になる。
  • $y = |f(x)|$ — $x$ 軸より下の負の部分を上に反射する。
  • $y = f(|x|)$ — 右半分を左側に反射する。

worked example — $y = \dfrac{1}{f(x)}$ の概略図を描く

• $f(x) = x^2 - 4$ （零点が $\pm 2$ 、最小値が $(0, -4)$ ）の場合：
• $\dfrac{1}{f(x)}$ は $x = \pm 2$ に垂直な漸近線を持つ。
• $f$ の $-4$ における最小値は、$\dfrac{1}{f}$ の $-\dfrac{1}{4}$ における局所最大値となる。
• 判別式 と 変曲点（極値） を用いて、有理関数が取り得る値の範囲を求める。

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