対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 面積、体積、相似比の活用
- 直角三角形の比と三平方の定理の適用
- 円の方程式、弧の長さ、角の関係の活用
前提知識：三角形の内角の和、三平方の定理、長さ・面積・体積の単位。
説明し、方法を選択する
相似対応する角と辺の比を保持する。面積はk²倍、体積はk³倍に拡大・縮小する。
直角三角形において、sinは「対辺／斜辺」、cosは「隣辺／斜辺」、tanは「対辺／隣辺」である。
中心が(h,k)、半径がrの円は (x−h)²+(y−k)²=r² で表される。
A full turn is 360° or 2π radians. Arc length is rθ only when θ is in radians.
縮尺（スケールファクター）$k$は、すべての対応する長さを変化させます。 相似な図形における $A_2=k^2A_1$ と $V_2=k^3V_1$。 $k=3/2$ と $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$ が成立する場合、$A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$ です。 一つの寸法のみを変更しても、これらの相似の規則を正当化することはできません。
Worked example. A right triangle has legs 6 and 8. c²=6²+8²=100, so c=10. For the angle opposite 6, sin θ=6/10=0.6. A similar triangle enlarged by factor 3 has area nine times the original.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
This overview introduces the skills. Each one has its own handout and practice sheet: 18 and 19. Work through them in that order.
練習 1
相似な容器の表面積が 96 と 216 平方センチメートルの場合、小さい方の体積は 160 立方センチメートルです。大きい方の体積を求めよ。
Reasoning. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. Volume uses the cube: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Using area ratio directly would give the wrong volume.
練習 2
直角三角形の斜辺が 13 cm、片辺が 5 cm です。もう一方の辺、その面積、および 5 cm の辺の対角の正弦を求めよ。
Reasoning. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
練習 3
Two interior angles of a triangle are 42° and 73°. Find the third angle and its adjacent exterior angle. Would those angles alone determine all side lengths?
Reasoning. Third angle is $180-42-73=65$ degrees. Its adjacent exterior angle is $180-65=115$ degrees, also $42+73$. Angles establish shape, not scale; similar triangles can have different side lengths.
練習 4
Two parallel lines are cut by a transversal. One corresponding angle is 68°. Find its matching corresponding angle and the adjacent angle on the second line. Explain which given condition justifies each step.
**推理。**平行線により対応角 68°が等しくなる。隣り合う角は一直線の角をなすため、残りは 180°−68°=112°である。等しい対応角の条件は平行線であり、一直線の和の性質は直線上での隣接関係による。平行線なしの類似した図では、最初の等式を正当化できない。
Limits and next use
半径と直径は2倍の関係にあります。πr² に直径を使うと、面積が4倍过大きくなります。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。