対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 等価な多項式および有理式の変形を行う
- 非線形方程式・連立方程式を解く
- 二次関数および指数関数を解釈する
前提知識：分配法則、平方の差、実数の平方根。
説明し、方法を選択する
可能であれば二次式を因数分解する。積が0に等しい場合、零因子法則が適用される。
平方完成により頂点が見える：x²−6x+5=(x−3)²−4。
有理式については、約分する前に分母がゼロとなる値（除外値）を記録する。
指数モデルは一定区間ごとに固定の倍率で増減する。20%の増加とは、0.2を加えるのではなく、1.2を乗することである。
同値変形は、指定された定義域上で一致しなければならない。 $E(x)=(x^2-25)/(x-5)=(x+5)$は$x\ne5$の場合にのみ成立する。 約分によって因数を取り除けるが、除外された入力値を復元することはできない。 主平方根は負にはならないため、$\sqrt{x^2}=|x|$も成立しない。
** worked example（例題）。** x²−5x+6=0 を解く。因数分解すると：(x−2)(x−3)=0。よって x=2 または 3。もし (x²−5x+6)/(x−2)=0 の場合、x=2 は除外され、3のみが残る。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
この概要ではスキルを紹介する。各スキルには独自のプリントと練習シートがあり、10, 11, 12 がある。その順に進めてください。
練習 1
$F(x)=(x^2-4x)/(x^2-16)$ を簡略化せよ。元の制約をすべて挙げ、なぜ$F$ が後者の式の定義域全体において$x/(x+4)$ と同一でないかを説明せよ。
解説。 分子 $x(x-4)$ と分母 $(x-4)(x+4)$ を因数分解する。元の定義域は $x=4,-4$ を除外する。約分により、$x\ne4,-4$ に対して $F(x)=x/(x+4)$ が得られる。後者の式だけでは $4$ を許容し、その結果は $1/2$ となるが、$F(4)$ は未定義である。
練習 2
$(3x-2)(x+5)$における$x$の係数を求め、$x=1$のとき$\sqrt{(x-5)^2}$の値を計算せよ。
解説。 展開すると$3x^2+15x-2x-10=3x^2+13x-10$となるため、係数は13である。根は$|x-5|$であり、$x=1$においては$|-4|=4$となり、$-4$や16ではない。
練習 3
ある生徒が$x=2$をテストし、$x^2$と$2x$が等価であると結論づけた。この結論を反証し、実際に両者が一致する点を求めよ。
推論。 $x=3$ において出力は 9 と 6 であるため、一致するテスト1つだけでは証明にならない。$x^2=2x$ を $x(x-2)=0$ として解くと、$x=0,2$ だけが得られる。
Limits and next use
方程式を両辺二乗すると、解の根拠がない追加解が生じることがあります。変形後の式だけでなく、元の方程式に代入して確認してください。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。