GT-circles · Circle equations, arcs and unit-circle trigonometry

SAT · トピック 19

プリント

対象範囲と前提条件

デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。

完成平方によって円の中心と半径を回復する
中心角を変換し、弧の長さと扇形の面積を計算する
接線、円周角、および単位円の関係を利用する

前提知識：完成平方、半径、ラジアン、直角三角形の比。

説明し、方法を選択する

中心 (h,k)、半径 r の円は (x-h)²+(y-k)²=r² を満たす。展開された方程式については、x と y について完成平方を行い、補正定数項を右辺に加える。実かつ非退化の円であるためには、右辺は正でなければならない。半径とその二乗を区別して保持すること。

ラジアンで表された中心角 θ による弧の長さは rθ、扇形の面積は r²θ/2 です。度単位では、全周または全面積の分数 θ/360 を用います。一周は 2π ラジアン=360° に相当します。rθ および r²θ/2 の式にはラジアンを使用する必要があります。変換せずに度をそのまま代入すると、スケールが誤りになります。

円の一点における接線は、その点の半径に垂直です。円周角は、同じ弧に対する中心角の半分です。直径に対する円周角は直角です。これらの性質を適用する前に、実際に共通する弧と中心を特定してください。弦は接線ではなく、追加の条件によって明記されない限り、半径に垂直であるとは限りません。

On the unit circle, a point at angle θ has coordinates (cos θ,sin θ), so cos²θ+sin²θ=1. Signs depend on quadrant. For acute complementary angles, sin θ=cos(90°-θ). Use special triangles for exact values: at 30° the sine is 1/2 and cosine √3/2; at 45° both are √2/2.

円の方程式の両辺を平方完成してください。 $x^2+y^2+6x-8y=0$は$(x+3)^2+(y-4)^2=25$になる。中心は$(-3,4)$で半径は5である。弧の長さはラジアン角度$\theta$の場合のみ$s=r\theta$である。

円(x − 2)² + (y + 3)² = 25、中心(2, −3)、半径5 括弧内の記号から中心を読み取り、半径を √25 = 5 として求めよ。

Worked example. x²+y²-4x+6y-12=0 becomes (x-2)²+(y+3)²=25, giving centre (2,-3), radius 5. For radius 6 and central angle π/3, arc length is 2π and sector area 6π. An inscribed angle on that same 60° arc is 30°. At 150°, cosine is -√3/2 and sine 1/2 because the point is in quadrant II.

練習素材

以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。

推論による練習

練習 1

$x^2+y^2-8x+2y+8=0$ の中心と半径を求めよ。$(7,-1)$ はその円上にあるか？

考察。 平方完成して $(x-4)^2+(y+1)^2=9$ を得る。中心は $(4,-1)$、半径は 3 である。$(7,-1)$ を代入すると $3^2+0^2=9$ となり、したがってこの点は円上にある。

練習 2

ある扇形は半径 8 cm、角度 135° である。この扇形の角度（ラジアン）、弧の長さ、面積を求めよ。また、円上の他の点で同様の弧を挟む円周角も求めよ。

考察。 $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ ラジアン。$s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$。$A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$。円周角は中心角の半分であるため、67.5 度となる。