対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 頻度から事象およびその補事象の確率を計算する
- 条件付き確率の分母として条件群を用いる
- 独立と排反（相xfff）の違いを理解する
前提知識：分数；表の合計；事象およびその補事象。
説明し、方法を選択する
等確率な観測に基づいた確率は、該当する数÷関連する総数で求める。二重分割表では、セルに連立事象の頻度、辺にグループの合計、全体に総合計が記載されている。問題が連立事象について問うのか、どちらかの事象について問うのか、あるいはある事象が与えられたときに別の事象が起きる確率を問うのかを確認し、適切な分母を選ぶ。
P(A given B) については、B のグループに限定して、AかつBの個数を B の総数で割ります。これは一般に P(B given A) と等しくありません。なぜなら、条件付きグループが異なるからです。正しい分子を持つ分数でも、対象とする集団が間違っていれば、別の質問に答えることになります。
補事象の確率は 1-P(A) で求められる。A または B が起きる確率を求める際、別々の確率を足すと重複部分が二重カウントされるため、P(AかつB) を引く必要がある。排反事象には重複がなく、独立事象は P(AかつB)=P(A)P(B) を満たす。両方の確率が正の排反事象同士は独立であり得ない。なぜなら、片方が起きたことを知れば、もう片方は起これないからである。
無放回抽出の場合、各ステップで残りの該当数と総数を更新する。独立した繰り返し選択の場合、そのような更新なしに確率を掛け合わせる。計算前にサンプリングの仮定を明記すること。観察された相対頻度の表は、その集団における経験的確率を裏付けるものであり、今後のすべての抽出を保証するものではない。
条件付き確率は、分母を制限します。 40 人のクラブメンバーのうち、12 人が自転車に乗っており、その自転車乗りの中で 8 人がヘルメットを着用している。 $P(H\mid C)=n(H\cap C)/n(C)=8/12=2/3$. 対象グループは自転車乗りなので、40 はこの分母にはならない。
Worked example. Original counts: bus users—18 carry a packed lunch, 12 do not; non-bus users—12 carry lunch, 8 do not. Total 50. P(lunch)=30/50=0.6; P(lunch given bus)=18/30=0.6; P(bus given lunch)=18/30=0.6 in this particular balanced table. Change one cell and these need not stay equal. P(bus and lunch)=18/50=0.36, equal here to 0.6·0.6, so the table shows independence of these categories.
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
調査では、20 人の自転車乗りの中で 12 人が紅茶を飲み、8 人は飲まないことが記録されている。また、30 人の歩行者の中では 9 人が紅茶を飲み、21 人は飲まないことが記録されている。$P(tea)$、$P(tea\mid cyclist)$、$P(cyclist\mid tea)$ を求めよ。
考察。 茶飲みの総数は50人のうち21人なので、$P(T)=21/50$。サイクリスト内では$P(T\mid C)=12/20=3/5$。茶飲み内では$P(C\mid T)=12/21=4/7$。これらの分母が異なるため、条件付き確率は等しくない。
練習 2
同じ調査において、紅茶を飲むことと自転車に乗ることとは独立か？排反か？両方について数値を使って答えよ。
Reasoning. $P(T\mid C)=3/5\ne21/50=P(T)$ではないので、これらは独立していない。12の回答者が両方を行うので、これらは排反ではない：$P(T\cap C)=12/50>0$。
練習 3
一人の回答者を均等に選んだとき、歩行するか紅茶を飲むか（両方を兼ねている者を含む）の確率を求めよ。
Reasoning. 重複除外原理を使う。$P(W\cup T)=(30+21-9)/50=42/50=21/25$。茶饮用のウォーカー9は二重にカウントしてはいけない。同様に、茶を飲まないサイクリスト8を除外する。
Limits and next use
一つの表で条件付き確率の答えが等しいのは偶然や構造によるものであり、普遍的な法則ではない。まず条件を定め、その後個数を数えよ。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。