対象範囲と前提条件
デジタルSATの枠組みに基づいています。これらの紙ベースのタスクは適応的ではなく、スケーリングされたスコアを予測するものではありません。
- 回帰モデルの傾き切片を文脈の中で解釈する
- 残差を計算し、内挿と外挿を区別する
- 等間隔データから線形または指数関数のパターンを選択する
前提知識: 一次関数；符号付き引き算；散布図のラベル付け。
説明し、方法を選択する
散布図は2つの定量変数をペアにし、ペアされた観測ごとに1点を描く。回帰直線は各点を結ぶのではなく、傾向を要約するものである。モデル y=a+bx において、b は x が1単位増加したときの y の変化量を予測し、その単位は「x単位あたりのy単位」である。切片 a は x=0 のときの y を予測するが、これはデータの範囲外にある可能性がある。
残差は「観測値y − 予測値y」である。正であれば観測値はモデルの上、負であれば下にあることを示す。計算にはまず観測値xをモデルに代入してから引き算を行う。大きな残差はその点での予測精度が低いことを示すだけであり、必ずしも測定誤差や傾向の欠如を意味するわけではない。
内挿は観測されたxの範囲内で予測し、外挿はそれを超えて行うため、関係性が変化している可能性があり、より慎重な注意が必要である。モデルの文脈的な適用範囲および代数的形式の両方を考慮せよ。例えば、予測された移動時間が負となる場合、物理的に可能ではなく、不当な外挿である可能性を示唆する。
入力が等間隔で出力の差分がほぼ一定の場合、線形モデルを、出力の比がほぼ一定の場合、指数関数モデルを想定する。ばらつきがあるため、どちらのパターンも近似として捉える必要がある。相関は因果を特定しない：両変数は第3の変数の影響を受けている可能性がある。回帰傾向は予測に関する証拠であり、単独で介入効果の証明にはならない。
残差は、観測値から予測値を引いたものです。 旅のモデル$T=5+2d$では、$T$に分、$d$にキロメートルを用いている。 $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. 観測時間16分について、$e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$である。
** worked example.** 学習時間を x 時間、予測された練習得点を y=12+3x とすると、傾きは 3 得点/時間です。x=2 のときの予測値は 18 です。観測された得点が 21 の場合、残差=21-18=3 です。x の値が 1 から 5 の間で観測されている場合、x=3 での予測は内挿、x=12 での予測は外挿となります。入力の等間隔における出力 5,10,20,40 は、2倍の指数関数的増加を示唆しています。
練習素材
以下の各練習問題は、必要とするデータをすべて明記しています。
推論による練習
練習 1
配達モデル$T=8+1.5d$分は、観測距離2～10kmに対応する。両パラメータを解釈せよ。距離6kmにおける観測時間は15分であるので、その残差を求めよ。
** Reasoning.** 切片は、零距離で 8 分を予測しますが、零は観測範囲の外にあるため、この解釈は外挿されます。傾きは、キロメートルあたり追加の 1.5 分を予測します。$T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$。残差 $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$ は、直線の下にあります。
練習 2
予測は距離7kmおよび20kmについて要求される。それぞれの内挿・外挿を分類し、回帰傾きが距离だけがすべての時間変動の原因であることを証明しない理由を説明せよ。
** Reasoning.** 七は 2–10 の内側にあるため、内挿です。二十は外側にあるため、より支持の弱い外挿となります。交通状況、積載量、その他の条件が時間に影響を与える可能性があります。適合された相関関係は、それらの効果だけを切り離すものではありません。
練習 3
等間隔の入力 0,1,2,3 に対して、出力は 6,18,54,162 です。単純な線形または指数関数の法則を選び、4 での予測を行い、仮定を明記してください。
** Reasoning.** 比率はすべて 3 ですが、差は異なります。指数関数の法則は $y=6(3)^x$ です。3倍の成長が続く場合、$y(4)=6(3)^4=486$ となります。これはモデルに基づく外挿であり、必ず次の観測値となるわけではありません。
Limits and next use
「観測値 minus 予測値」の順序を維持すること。モデルの傾きを因果的な治療効果として解釈してはならない。
これらは公式試験問題ではなく、本コースのために作成されたオリジナルの練習課題です。