3.3 · Geometry and measures

OxfordAQA 9260 単元 3.3 (規定書 Version 5.1) — 合計の 31.5% に相当する Extension 追加内容 として円周角定理の証明を含む完全なプログラム、合同条件、方位角、球体・四角錐・円錐・台の体積・表面積の公式、k-k1-k26 相似、 計測、相似、三角関数、変換、ベクトルと行列; これらの 分数倍率・負の倍率を伴う複合変換、ベクトル幾何学、 そして ²×³ 行列プログラム（単位行列、単位正方形の変換、合成）が含まれる。 3E specimen は幾何学試験であり、出題されていない項目は specification の原文としてラベル付けされている。 分数/負の拡大率を伴う変換の組み合わせ、ベクトル幾何学、 および 2×2 行列プログラム (恒等行列、単位正方形変換、組み合わせ)。 1E 例題は幾何学試験であり、未出題の項目は規定書の オリジナルとしてラベル付けされている。

単元 3.3 で必須 (数式シート不可):

標準用語: 点、線、頂点、辺、平面; 平行、垂直; 多角形と正多角形；標準的な三角形の labeling。角度に関する事実: 頂点において 点（360°）、直線上の（180°）、対頂角；平行線は 内錯角、同位角および同側内角を作る（ これらの名前は理由として使用し、「Z型角」とは書かない）；三角形の内角の和は180°で、二等辺三角形、 正三角形および不等辺三角形のグループがある。多角形の角の合計：内角は$(n-2) \times 180°$、 exterior $360°$; for regular polygons also the angle at the centre $= \tfrac{360°} {n}$。特殊な四角形（正方形、長方形、平行四辺形、台形、凧形、 菱形）は辺・角・対角線の性質を持ち、2D形状は反射 および回転の対称性の数を有する（正六角形：6本の軸、階数6）。

合同 と三角形の拡張条件 — SSS, SAS, ASA, RHS — 各条件がどの3つの独立した測定値によって三角形を一意に定めるか。 相似 は長さを$k$倍に缩放する：（拡張）面積は$k^2$倍、体積は $k^3$倍、あらゆる方向において。

The Extension circle programme: angle at the centre is twice the angle at the 円周；半円の角は90°であり、同じ弧に接する角は等しい； 円内接四角形の対角の和は 180° です；接線 $\perp$ 半径；接線 接線の長さは等しい；中心から垂線を下ろすと弦を二等分する； 交差部分定理（別弧定理）。検証された論理の連鎖：円周上の角が the circumference of 35° subtends the same arc as a centre angle of 70°, and the ステップで定理名を明記すること（$\tfrac12(360° - 70°) = 145°$Eサンプルの円に関する問題は、この タイプの解答を含みます；G$35° + 145° = 180°$'s幾何学的証明の要求）。 step names its theorem (the 1E specimen's circle question carries answers of this family; G9's geometric proof demand).

立方体、直方体の面・曲面・辺・頂点、柱体、円柱、ピラミッド、 円錐、球の面、表面、辺、頂点；平面図と立面図（正面図、側面図、上面図 — a すべての弧を残してください：弧が作業過程そのものです。 縮尺因子を持つ縮尺図；方位角: 三桁表示、北から時計回りに north (Extension includes the eight compass points) — the 2E specimen's 252° comes 方位角の連鎖から導かれる：戻り方位角と点における角度。

** worked example: 2つの方位角からの角度 。$B$は$A$から070°の方位にある、 $C$は$B$から160°の方位にある。角$ABC$を求める。$A$の$B$からの 方位角は帰還方位角$070° + 180° = 250°$である。$B$において、$A$への方向は250°であり、 $C$への方向は160°なので、角$ABC = 250° - 160° = 90°$となる。すべての計算の起点に北線を引く；方位角は「from」の名前がついた点で測定される。 定規とコンパスによる作図**：中点垂直線、

定規と定規による作図：線分の垂直二等分線、 複合単位の速度や密度など）。面積：三角形は60、 図形を作成し、軌跡問題を解くために用いられる；点から直線までの 垂直距離が最短である。すべての弧を残すこと：弧は作業プロセスそのものである。

標準単位と換算（時間 12/24-時；長さ、面積、体積/容量、 質量；複合単位 速度および密度）。面積：三角形 $\tfrac12 bh$、 parallelogram $bh$, trapezium $\tfrac12(a+b)h$; volume by $V = Ah$ (constant 断面。円：$2\pi r$、$\pi r^2$；（発展）扇形 弧 $\tfrac\theta{360} \times 2\pi r$ and area $\tfrac\theta{360} \times \pi r^2$, plus 球体/四面体/円錐の表面積および体積公式と複合体 台錐を含む（規定ライン、いくつかはサンプル外）— 底面が $r = 5$, $h = 12$ has slant 13, $V = 100\pi$ and curved surface $65\pi$; the 1E 試料の円錐問題で比例 $p = 15$ を求める。

** worked example: 扇形 **。扇形の半径は 6 cm、中心角は 150° です。弧の長さは $\tfrac{150}{360} \times 2\pi \times 6 = 5\pi = 15.7$ cm なので、周長は $5\pi + 6 + 6 = 27.7$ cm（両方の半径を含みます）。面積は $\tfrac{150}{360} \times \pi \times 6^2 = 15\pi = 47.1\ \text{cm}^2$ です。相似な図形（発展）： lengths $k$ : areas $k^2$ : volumes $k^3$ — the 2E specimen's similar solids give 864 cm³ from a volume ratio.

$a^2 + b^2 = c^2$ における SOH CAH TOA と直角三角形 — 2D 常に、3D Extension の図形：まず直角三角形を抽出する（1E 標本の 3D 三角関数） 62.7° を与えます）。正弦定理 $\dfrac a{\sin A} = \dfrac b{\sin B}$ と 余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$は任意の三角形に適用可能（拡張）、面積 $= \tfrac12 ab\sin C$ に逆変換可能 — 2E の標本の余弦の定理は 102.6°を与え、 $\cos x = \tfrac8{11}$は $x = 43.3°$を導く。

** worked example: 2余弦定理の族、適応版。** 三角形には $a = 9$、$b = 11$ and angle $C = 72°$. $c^2 = 81 + 121 - 2(9)(11)\cos 72° = 202 - 198 \times 0.309 = 202 - 61.2 = 140.8$, so $c = 11.9$ (3 s.f.)。したがって、最も小さい角は 最も短い辺の向かい側にある: $\cos A = \tfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \tfrac{121 + 140.8 - 81}{2 \times 11 \times 11.87} = \tfrac{180.8}{261.1} = 0.693$, よって $A = 46.2°$（$c$を丸めずに保持）— $A + B + C = 180°$を $B = 61.8°$ で確認する。✓

単一回転、反射、平行移動（ベクトルによる）、拡大縮小 （正の倍率）— 保存される性質が示され、拡張部分では 複合変換 と 分数および負の 縮小率による拡大縮小（中心の反対側にある反転・縮小された像）が含まれる。 ベクトル: 記法、和、差、スカラー倍（図示的および成分による）、交換律と結合律、および単純な (グラフおよび成分によって)、交換律・結合律、および単純な 2D 幾何学 — 2E の標本は $\tfrac12$比を用いて $CB \parallel MN$を証明する ベクトルを用いる。

AB = (4, 3) の大きさは √(4² + ²² + 3² + ²²) = 5（※原文の記号配置に従い、計算式は数学的意味に基づき修正）

2×2 行列プログラム（拡張）: 乗算（2×2 by 2×2, by 2×1, スラー）、単位行列 $I$; ユニットスクエーの変換 — 原点における 90°/180°/270° の回転、$x = 0$、$y = 0$、 $y = x$、$y = -x$ を中心とする拡大 — 行列で表現される 例えば $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$（$y = -x$ での反射、 1E例題の行列）; 行列の乗算による複合変換、 変換の適用順序。

** worked example: 合成変換 **。 $y = x$ について対称移動し、行列 $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$、次に 90° 回転させます 原点を中心に反時計回りに、行列 $\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。最初の変換は右側に置かれます:

$y$ に反射され、それが $x = 0$ に回転し、$(2, 1)$-軸についての対称移動もまた $(1, 2)$ を $(-2, 1)$ に送ります。✓ 逆の順序で掛け合わせると $y$ が得られ、 $(2, 1)$ を $(-2, 1)$ に変換します。✓ 逆の順序で掛け合わせると $\mathbf{M}\mathbf{R}$ が得られ、これは ** worked example: $x$E 行列解法の家族、適応版 **。以下の連立方程式を解きます。

解説例: 1E 行列方程式の解法 family、適応版。 解決 $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}$: これらの式は $3x + y = 10$ と $x + 2y = 5$ 。 最初の式より $y = 10 - 3x$ ; 代入して: $x + 2(10 - 3x) = 5$ , よって $-5x = -15$ , $x = 3$ と $y = 1$ が得られる。 確認: $3(3) + 1 = 10$. ✓ The 1E specimen's own pairs $(6, -\tfrac12)$ and $(-2, -\tfrac52)$ が与えられる 同一手法による2つ目の関連システムからの導出。

• 標準用語と三角形の記号; 角度の性質; 平行線の角; 多角形の内角・外角・中心角の和; 四角形の性質; 対称性の数 (G1–G6)。
• SSS/SAS/ASA/RHS による合同、k, k², k³ 比による相似 (G7, G17, 拡張)。
• 円の用語と証明根拠を含む定理群の完全リスト (G8–G9, 拡張; 35° → 70° → 145° の検証済み連鎖)。
• 3D の形状の性質; 平面図と立面図 (未抽出); 測定、縮尺、方位角 (G10–G12)。
• 作図 (定規とコンパスの4種類) と軌跡; 最短距離の性質 (G13)。
• 単位と複合量; 面積と V = Ah 公式; 円の公式; 扇形; 球体・ピラミッド・円錐・台の表面積と体積; 合成形状 (G14–G16, 拡張)。
• Pythagoras and trigonometry in 2D and 3D; sine/cosine rules and ½ab sinC (G19–G20, Extension; 1E 62.7°, 2E 102.6° and cos x = 8/11).
• 変換、組み合わせ変換、分数倍率・負の拡大倍率を含める (G21, 拡張)。
• ベクトル表記と幾何学 (G22; 2E CB ∥ MN の証明)。
• 行列の掛け算、単位行列、単位正方形の変換および組み合わせ (G23–G26, 拡張; 1E 行列)。

境界メモ: 9260 には公式シートなし。 「未抽出」と表示された線 (平面図と 標高、固体プログラムの一部など) は仕様書由来です； 標本はExtensionレベルのみです。 worked examplesは 2016 の 標本ペアまたは原文から適応されています。