3.2 · Algebra

OxfordAQA 9260 ユニット 3.2（初回評価 2018 のための仕様）— 最大ユニット 各エクステンション用紙の 35% に相当する。コア行 A1–A26 は記号からグラフまでを網羅し、 方程式、不等式、数列；エクステンション追加要素は 二次代数分式、形式的な証明、完全な関数ツールキット（ 定義域、値域、逆関数、合成関数）、直線の方程式、指数関数および三角関数の (定義域、値域、反転、合成), 直線の方程式、指数関数および三角関数の グラフ、接線と 停留点 を用いた 微分、平方完成、 勾配とグラフ下の面積、比例、すべての同時性対、二次 不等式および二次数列を加える。2E 試料はこのユニットを多く含み （代数学がその骨格である）；サンプリングされていない線は仕様のオリジナルとしてラベル付けされている。

ユニット 3.2 で必須事項（数式シートなし）：

文字は一般化された数を表し、数式や式に数字を代入する （正、負、分数）。エクステンション追加要素は 複雑な 再配置を行う formulae including when the subject appears twice**: from $ax + 3 = 5(xt) - 2a$, まず対象の用語を収集する — $ax + 2a = 5xt - 3$、したがって $a(x + 2) = 5xt - 3$ および $a = \dfrac{5xt - 3}{x + 2}$。すべての並べ替えを数値的に確認する。

同類項をまとめ、単一括弧を展開し、（発展）2つまたは3つの二項式の積 二項式: $(x + 2)(x - 3)(x + 1) = (x^2 - x - 6)(x + 1) = x^3 - 7x - 6$ 。因数分解 共通因数によって行い、（発展）すべての二次式 $ax^2 + bx + c$ を含み、その 2乗の差：$2x^2 - 7x - 15 = (2x + 3)(x - 5)$ および $9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$. Index laws run to fractional powers: $4c^5 \div 3d^3$ は 指数形式の解答における$\tfrac{4c^5}{3d^3}$（1Eサンプルの解答形式）。

有理式 (拡張) は、一次式または 二次の代数分数を加え、引き、掛け、割る — まず因数分解し、共通 約分因子と共通分母を消去する。2E模範解答の $\dfrac{11m - 14}{m^2 - 3m - 4}$ および $\dfrac{2x + 3}{x + 4}$ の解答はこの手法から導かれる。

** worked example: 簡略化してから引き算を行う。 ** (a) 簡略化 $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}$ 。(b) $\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{1}{x - 1}$ を 単一の分数として表す。

(a) 分子と分母を因数分解し、共通因子 $(x + 3)$ をすべて約分する：

(b) 通分する分母は $(x + 2)(x - 1)$ です。第2の分子を括弧に入れ、 マイナス記号が両方の項に届くようにする：

単項式（例：(a) の $x^2$ ）の約分は決して許されません。全体 約分される。

恒等式がすべての値に対して成立することを、数学的に論証する — 拡張版で 形式的な証明を求める。構成：代数式を提示して整理し、主張と比較する。 主張。古典的な（2Eの標本ファミリー）: $n^2 + n + 9$がすべての 整数$n$に対して奇数であることを証明する。$n^2 + n = n(n + 1)$を2つの連続する整数の积として表し、その が偶数なので、$n(n + 1)$ は偶数であり、偶数 $+ 9$ は奇数です。他の 奇偶性の証明：$(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 8n$ — 任意の整数 $n$ に対して 8 の倍数である。数値例は決して証明ではない。

関数とは、各入力がちょうど1つの出力に割り当てられるもの（コア：単純な入力–出力 機械；拡張：形式的な定義， $\mathrm{f}(x) = \ldots$記法， 定義域および値域）。合成: $\mathrm{fg}(x) = \mathrm{f}(g(x))$, まず$g$を適用し、2E標本は$\mathrm{fg}(x) = (x - 5)^2 + 1$を構築して解く $\mathrm{fg}(x) = 5$: $(x - 5)^2 = 4$から$x = 3$を得る（または$x = 7$; 確認: $(3 - 5)^2 + 1 = 5$ は 1 から導かれる。 $\mathrm{f}^{-1}(x) = \tfrac x3$は$\mathrm{f}(x) = 3x$から導かれる。

4つの象限すべてにおける座標；$y = mx + c$をプロットする；拡張版の追加要素は以下を求める 2点を通る方程式、または与えられた傾きを持つ1点を通る方程式を見つけ、 $y - y_1 = m(x - x_1)$を用いる: $(1, 7)$と$(2, 9)$を通り、$m = 2$と$y = 2x + 5$を通る。 平行線は$m$を共有する；垂直な傾きの積は$-1$になる（仕様 直線、サンプリング対象外）。

一次、二次、三次および逆比例グラフの概略図を描き解釈する；拡張版 追加項は正の$k$に対する指数関数$y = k^x$および 三角関数のグラフ（度法）を追加 — これらはどちらも仕様直線で、 の標本。根、切片および極点を同定する；拡張版の追加要素 DEDUCES turning points by completing the square: $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$ (specification line, not sampled). グラフの勾配およびその下の面積（二次関数および非線形グラフを含む）は 接線と台形によって推定され、— 拡張版では — 厳密に計算される 微分（次節）である。

その後、その接線の方程式を求める。 $\dfrac{dy}{dx}$、正の整数$n$(および和)に対して$kx^n$を微分し、知る ある点における関数の勾配が接線の勾配そのものであることを知っていること。 導関数を用いて曲線を概略図として描く。

2E標本の値(族引用): $\dfrac{dy}{dx} = 15$において接線を持つ曲線 点には接線$y = 15x - 36$がある。定常点は$\dfrac{dy}{dx} = 0$を解く。 最大点、最小点、または変曲点に分類され、曲線は 導関数から概略図を描く:

** worked example: 静止点と接線。** $y = x^3 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12 = 0$ $x = \pm 2$を与える。$x = -2$において、$y = 21$（勾配が$+$から$-$へ変化する：最大）、 $x = 2$において、$y = -11$（$-$から$+$へ変化する：最小）。$x = 3$では勾配が $3(9) - 12 = 15$であり、接線は$y + 4 = 15(x - 3)$、すなわち$y = 15x - 49$である。

両辺に未知項を含む一次方程式、因数分解による二次方程式、 (発展) 平方完成および二次公式による求解 — 1E模試の $x = -3 \pm \sqrt7$ は $x^2 + 6x + 2 = 0$ から導かれます：$x = \tfrac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2}$。連立のペア：2つの一次式、および（拡張）1つの 一次式と1つの二次式。変化（拡張）：代数的に直接的な$y = kx^n$と 反比例する$y = \tfrac{k}{x^n}$（規定ライン、サンプリング対象外）。 ** worked example: 一次関数と二次関数。** $y = x + 1$と $x^2 + y^2 = 13$を連立して解く。一次方程式を二次方程式に代入する:

よって$x = 2$, $y = 3$または$x = -3$, $y = -2$。答えをペアとして提示し、各 連立方程式から $y$ を消去します：$y^2 = 9$ を二乗すると、$y = -3$ が誤って許容されます。 $x = 2$.

不等式：1変数の一次不等式、および（拡張）1つまたは2変数を含むもの加上 二次不等式 — 臨界値を用いて$x^2 - x - 6 > 0$を解く $x = -2, 3$：正の二次式であるため、$x < -2$ または $x > 3$（規定ライン、 サンプリング対象外）。

項から項への規則および位置から項への規則に基づき項を生成；三角形数、平方数、 および立方数の数列（基礎）と、発展部分で二次関数に関する追加内容を含む。 数列: 第2次差分一定、n項nは $an^2 + bn + c$ with $a = \tfrac12(\text{second difference})$. For $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$: first differences $4, 8, 12, 16$, second difference $4$, so $a = 2$. これを $2n^2$(これにより$2, 8, 18, 32, 50$が得られる)を引く: 残差 $3, 1, -1, -3, -5$ are linear, $-2n + 5$. So the nth term is $2n^2 - 2n + 5$ — check $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$. ✓

• Generalised notation; substitution; rearrangement with the subject twice (A1–A3, Extension).
• 2つまたは3つの二項式の展開；すべての二次式および平方の差の因数分解；分数指数の解答；二次式代数分式 (A4–A7, 拡張; 1E/2E 例題)。
• 形式的な代数証明 (A8, 拡張; 2E n² + n + 9 の族)。
• 関数: 定義、定義域、値域、合成 fg、逆関数 (A9, 拡張; 2E fg(x) = (x−5)² + 1, 1E f⁻¹(x) = x/3)。
• 座標; 2点を通る直線の方程式または点＋傾きの方程式; 垂直な直線の傾き(A10–A11; 後者はサンプリング対象外)。
• 一次、二次、三次、逆比例、指数、三角関数のグラフ; 平方完成による頂点の位置; 傾き・面積の推定 (A12, A16–A17; 複数の線分は出題なし)。
• kxⁿの微分；勾配＝接線の勾配；接線の方程式；定点（極値）の分類と概略図（A13–A15、Extension；2E 接線族）。
• 一次方程式；3つの方法による二次方程式の解法；一次・一次連立方程式および一次・二次連立方程式（A19–A21、Extension）。
• 代数学への応用（A22、Extension）；一次不等式（単変数/双変数）および二次不等式の解集合（A23、Extension；出題なし）。
• 数列の種類；第n項が一次・二次である場合（A24–A26、Extension）。

境界注記：9260では公式集は使用不可。直線で「出題なし」とマークされた項目（垂直 な直線の勾配、指数関数・三角関数の概略図、平方完成による頂点、 比例、二次不等式および二変数不等式）は specification の原文であり、 例題は拡張レベルのみであるため、基礎レベルの要求に関する局所的な証拠はない。 worked 例題は 2016 例題ペアまたはオリジナルから適応されたものである。