完全ガイド C.4 範囲（定常波と共鳴）、初回評価 2025。物理ガイド pages 48–49 を直接参照されたい。前提知識: C.1 (振動用語) および C.3 (重ね合わせ)。
これらは実際の測定値や完了した評価対象者の調査ではなく、純粋な授業例です。
C.4 · 定常波と共鳴
国際バカロレア · IB Diploma · Physics · SL · トピック 11
11.1
対象範囲と前提条件
11.2
定常波：反対方向の重ね合わせ
互いに逆向きに進行する同一の波 — 通常、ある波とその反射波 — が重ね合わさって 定常波 を形成する：パターンは固定されたまま、その内部の媒質は振動する。2つの波が常に打ち消し合う位置には 節（変位ゼロ）があり、常に増強し合う位置には 腹（最大振幅）がある。隣り合う節の間の2点は 同位相 で振動し、節の両側の点は 逆位相 にある — 進行波とは異なり、位相は進行しない。
11.3
境界条件：弦と管
端が可能な波長を決定する。固定された弦の端（または管の閉端）は変位 節 でなければならず、自由な弦の端（または管の開端）は 腹 でなければならない。管については変位のみで記述される（圧力節は不要であり、端補正も用いない）。
| 境界 | 許容される波長 | 調和周波数 |
|---|---|---|
| 固定—固定弦；閉—閉管（節—節） | $\lambda_n = 2L/n$ | $f_n = nv/2L$ |
| 固定—自由弦；閉—開管（節—腹） | $\lambda_n = 4L/(2n-1)$ | $f_n = (2n-1)v/4L$ — 奇数調和のみ |
| 自由—自由弦；開—開管（腹—腹） | $\lambda_n = 2L/n$ | $f_n = nv/2L$ |
最低周波数のモードを 第1調和 （「基本調」と「上調和」の用語はこのコースでは使用しない）という。長さおよび波速から $n$ 番目の調和の波長と周波数を求めることは必須スキルである。
Worked check (string). A string of length 0.60 m carries waves at 240 m/s. First harmonic: $\lambda_1 = 2L = 1.2\ \mathrm{m}$, $f_1 = v/2L = 240/1.2 = 200\ \mathrm{Hz}$; the second harmonic doubles to 400 Hz, the third to 600 Hz.
** worked example (閉—開管).** 片方が閉じ他方が開いた管、長さ 0.40 m、空気中音速 340 m/s：$f_1 = v/4L = 340/1.6 = 213\ \mathrm{Hz}$；次の調和は第3調和 $f_3 = 3f_1 = 638\ \mathrm{Hz}$ であり、偶数調和は形成できない。
** worked example (開—開管)。** 両端を開いた上記の管：$f_1 = v/2L = 340/0.80 = 425\ \mathrm{Hz}$ 、閉—開管の第1調和よりオクターブ高い、すべての調和が許容される。
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| standing wave/ˈstændɪŋ weɪv/ | 定在波 |
| node/nəʊd/ | 節 |
| antinode/ˌæntɪˈnəʊd/ | 腹 |
| in phase/ɪn feɪz/ | 同位相 |
| antiphase/ˌæntɪˈfeɪz/ | 逆位相 |
| first harmonic/fɜːst hɑːˈmɒnɪk/ | 基本調 |
| natural frequency/ˈnætʃərəl ˈfriːkwənsi/ | 固有振動数 |
| driving frequency/ˈdraɪvɪŋ ˈfriːkwənsi/ | 駆動振動数 |
| resonance/ˈrezənəns/ | 共振 |
| Damping/ˈdæmpɪŋ/ | 減衰 |
| Critical damping/ˈkrɪtɪkl ˈdæmpɪŋ/ | 臨界減衰 |
11.4
共鳴と減衰
すべての弾性系には 固有周波数 がある — 放置したときに振動する速率である。周期的な外力で駆動すると、応答は 駆動周波数 に依存する：駆動周波数が固有周波数に近づくと振幅が急激に増大する — 共鳴。エネルギーが供給される速度が系の吸収能と一致するため、共鳴時の振幅はエネルギー散逸の速さによってのみ制限される。
減衰 — 振動エネルギーの除去 — は応答を変形させる：最大振幅を低下させ、共振ピークを固有周波数よりわずかに低くシフトさせ、ピークを拡大させる。
- 弱減衰 — 高い鋭いピーク；大きな共振振幅（自然振動数で優しく押された振り子）。
- 臨界減衰 — 平衡点を越えず、最短時間で振動が消滅します；共振ピークは実質的に消失しています（自動車のサスペンション）。
- 強減衰 — 遅く鈍い回復；どの駆動周波数でもシステムはほとんど反応しません（重たいドアクージャー）。
共振は意図して設計される場合（楽器、ラジオの選局、MRI）と、望ましく破壊的な場合（タコマ・ナロウズ橋、機械自体が振動で破損する、橋の上を歩く兵士が間を合わせる）があります。このガイドでは両方の側面を求めています。
11.5
自己チェック
- 定常波がどのように形成されるかを述べ、節が固定したままその間の媒質が動く理由を説明せよ。
- 定常波上の2点は節の両側にあり、それぞれ0.15 m離れている。それらの位相差を述べよ。
- 両端が固定された弦の長さは0.75 mで、波速は150 m/sである。第1調和および第2調和の周波数を計算せよ。
- 閉口管がなぜ奇数調和のみを生み出すのか説明せよ。
- 長さ0.50 mで両端が開いた管があり、音速は340 m/sである。第1調和の周波数および第2調和の波長を計算せよ。
- 減衰が軽いシステムの共振曲線が、減衰が増加するにつれてどのように変化するかをスケッチまたは記述せよ。
- 共振の有用な効果と破壊的な効果をそれぞれ1つずつ挙げ、それぞれの物理的理由を述べよ。
答え: 1 2つの同一波形が逆向きに進行して重ね合わせられ、節では変位が常に打ち消し合うため動かないが、節の間では重ね合わせが振動する； 2 反位相 — 180° (π rad) ずれています； 3 $f_1 = v/2L = 150/1.5 = 100\ \mathrm{Hz}$, $f_2 = 200\ \mathrm{Hz}$； 4 閉口は節、開口は腹となる必要があるため、半波長の奇数倍しか収まりません。偶数調和は両方の条件を満たせません； 5 $f_1 = v/2L = 340/1.0 = 340\ \mathrm{Hz}$； $\lambda_2 = L = 0.50\ \mathrm{m}$； 6 ピークは低下し、広がり、自然振動数よりわずかに低い方へシフトします； 7 有用 — ラジオ回路が共振に調整されると、自然振動数付近でのみ応答するため、多数の局の中から1つだけを選び出します。破壊的 — 自然振動数で駆動するとエネルギー供給が散逸よりも速いため、振幅は構造物が破損するまで増大します。