C.3 · 波動現象

完全ガイド C.3 スコープ（波動現象）、第1回評価 2025。Physicsガイドを直接参照、ページ 47–48。前提知識：C.2 (v = fλ、横波および縦波) と基礎三角関数。

これらは実際の測定値や完了した評価対象者の調査ではなく、純粋な授業例です。

In two and three dimensions a wave is drawn two ways: wavefronts — lines joining points in step (in phase), one wavelength apart — and rays — arrows perpendicular to the wavefronts showing the direction of travel. Sketches in this topic are limited to incident, reflected and transmitted waves.

境界面において、媒体間で波は以下の3つのうちのどれか、あるいはすべてを行う：

• 反射 — 波面が境界から戻ってくる（入射角＝反射角。両方とも法線からの角度として測る）。
• 透過 — 波の一部が第2媒体へ進入する。
• 屈折 — 透過波の速度変化により進行方向が変わる。低速媒体に入るときは法線側に、高速媒体に入るときは法線から離れる。周波数は発生源によって固定され、波長は速度に応じて変化する。

比の形で表された屈折の規則：

ここで $n$ は各媒体の屈折率、$\theta$ は光線と法線のなす角である。同様に $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ であり、屈折率が大きいほどその媒体中での速度は遅くなることを意味する。

低速媒体から高速媒体へ移動する場合（ガラスから空気、$n_1 > n_2$）、それ以上の角度では光線が脱出できない領域が存在する。臨界角において屈折光線は境界に沿って伝わり、

それを超えるとすべての光が媒体内に完全に反射される——全内部反射（TIR）であり、これが光ファイバーの原理となる。

計算例（ガラスへの屈折）。 空気からガラス、$n_{air} = 1.0$、$n_{glass} = 1.5$、入射角$40°$：$\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1 = (1.0/1.5)(0.643) = 0.429$、よって$\theta_2 = 25°$ — 低速媒体に入るため法線側に曲がることが期待される通りである。速度も同じ比に従う：$v_{glass} = c/1.5 = 2.0\times10^8\ \mathrm{m/s}$。

計算例（臨界角）。 同上のガラスと空気：$\sin\theta_c = 1.0/1.5 = 0.667$、よって$\theta_c = 42°$。ガラス内部で壁に当たる光線が法線に対して$42°$より大きい角度を持つ場合、すべて全内部反射を受ける。

障害物や開口部に遭遇した波は直進せず、湾曲して広がる——回折。開口部の大きさが波長と同程度か小さい場合に広がりが最も顕著になるため、音（メートル単位の波長）はドアの角を曲がるが、光（数百ナノメートル）は直進しているように見える。波面・光線図では、スリットに入り平面波面となり、曲がって広がる波面となって出ていく様子が示される。

2つの波が一点で会うと、変位は加算される——重ね合わせ。安定したパターンを得るには、光源は可干渉性である必要があり、周波数が同一かつ位相差が一定である。その結果は2つの光源からの経路差に依存する：

$n$ が整数であるとき。同位相干渉は最大値（2つの山が同時に到達）を形成し、反位相干渉は最小値（山と谷が重なる）に打ち消される。

計算例の検証。 位相が一致する2つの共鳴光源、波長 0.50 m。ある点から一方の光源までの距離が 3.00 m、他方までが 3.75 m の場合、経路差は 0.75 m $= 1.5\lambda = (1 + \tfrac{1}{2})\lambda$ — 反位相干渉：最小値。その点を移動して経路差を 1.00 m $= 2\lambda$ にすると、最大値が復元される。

光が1つの狭いスリットを通り、次に2つの狭いスリット（構成上共鳴）を通過すると、スクリーン上に明暗の縞模様が生じる — これは干渉であり、光が波動であることを示す証拠である。縞間隔は

ここで $d$ はスリット間隔、$D$ はスリットからスクリーンまでの距離である。

計算例の検証（波長の測定）。 スリット間隔 0.20 mm、スクリーンまでの距離 2.4 m、12 本の明縞が 55 mm 范围内に観測された（11 個の間隔なので、$s = 55/11 = 5.0\ \mathrm{mm}$ ）: $\lambda = sd/D = (5.0\times10^{-3})(0.20\times10^{-3})/2.4 = 4.2\times10^{-7}\ \mathrm{m}$ — 紫青光。

1. State what is meant by a wavefront and how a ray is related to it.
2. A ray crosses from air into water ($n = 1.3$) at $50°$ to the normal. Calculate the refraction angle.
3. 全反射の条件を述べよ。また、なぜ水槽は接線角度で物体を鏡像として映すことができるのか。
4. 扉を通る音と光の回折を比較し、その理由を述べよ。
5. 2つの同相な位相を持つ波源が0.040 m離れており、0.060 mの波を放出している。ある点は波源間を結ぶ直線に垂直な線上で一方の波源から0.30 mの位置にある。この点がもう一方の波源から0.33 mの位置にある場合、その経路差の性質（干渉強化または干渉弱化）を述べよ。
6. In a double-slit set-up the slit separation is halved and the screen moved twice as far away. What happens to the fringe separation?
7. 緑色光を用いた二重スリット実験で、干渉縞の間隔は 4.0 mm であった。波長が半分の青色光を用いた場合、新しい間隔を推定せよ。

解答例：1 位相が揃った点の列、1波長おき；光線は常に波面に対して垂直であり、進行方向を示す； 2 $\sin\theta_2 = (1.0/1.3)\sin 50° = 0.588$, $\theta_2 = 36°$； 3 遅い（高$n$）媒質から速い媒質へ、臨界角を超えて入射した際に進行；それ以上では表面が完全に鏡のように反射する； 4 音（メートル単位の波長、開口部と同程度）は開口部周囲で強い回折を起こす；光（数百ナノメートル）の拡散は無視できるほど小さい； 5 経路差 0.03 m $= \tfrac{1}{2}(0.060\ \mathrm{m})$ — 消滅的干渉； 6 $s \propto D/d$: 4倍幅広； 7 $s \propto \lambda$, したがって 2.0 mm。

全反射角から記述する

• 光がガラス（屈折率 n = 1.5）から空気へ向かう。
• 臨界角 θc は sin θc = 1 ÷ 1.5 = 0.667 を満たし、θc ≈ 41.8° となる。これを超えるとすべての光線が完全に反射して戻り、これが光ファイバーの条件である。

境界文から記述する

• 波がより遅い媒質へ進入する。
• 一文で4つの事実：周波数は変化しない（放射源によって決まる）、速度は低下する、波長は短くなる、光線は法線に近づく。