A.3 · Groups, cosets and quotient maps

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：群公理、関数、整数の整除と置換。

• 群構造を確認し、元順位と部分群の添え字を計算する
• 核と像を用いて商群を同定する
• 正規部分群と任意の部分群を区別する
• 置換の類円型による類の分類を行う

剰余類: 部分群の写像によって得られる集合で、剰余類分割の構成要素となる。

正規部分群: 群の任意の元による共役に対して不変な部分群。

位数を計算する前に、指定された演算において閉包性、結合律、単位元、逆元の存在を確認せよ。部分群は結合律を継承しても、閉包性を欠くか単位元を含まないことがある。有限群において、ある元の位数とは、単位元を与える最小の正の乗数である。加群 Z/nZ においては、零を与える最小の正の倍数であり、剰余類 a の位数は n/gcd(a,n) である。ラグランジュの定理により、部分群の位数は群の位数の約数となる。その逆は一般に成立せず、群の位数が各元の位数と一致するわけではない。

左剰余類 gH は部分群 H の写像である。剰余類はすべて同サイズであり、群を分割するため、有限群における指数は |G|/|H| である。加群では g+H と記す。同じ剰余類に属することの定義は、差が H に含まれることである。通常、剰余類自体は部分群ではない（単位元を含まないため）。

準同型は演算を保つ。核は単位元に送られる元の集合であり、像は実際に到達する値の集合である。すべての核は正規部分群である。第1同型定理は G/ker(φ) と im(φ) が同型であることを示す；写像が全射でない限り、像を全対象として置き換えてはならない。

商の乗法はHが正規部分群である場合にのみ well-defined である。アベル群のすべての部分群は正規である。非アベル群では gHg^−1=H を確認し、指数2の部分群は正規である。置換の合成は指定された慣例に従い、ここでは最も右の置換を最初に計算する。不変 cycle の長さはその最小公倍数によって置換の位数を与える。共役 hσh⁻¹ は σ の cycle 内の要素をラベル付けし直すため、cycle の長さを保つ；逆もまた cycle の長さが同一の置換は、ラベル付けの違いによって関連づけられる。したがって、S_n における共役類は n の分割（固定点を含む）に対応する。S4 での型は 1+1+1+1、2+1+1、2+2、3+1、4：これらは5つの共役類であり、可能な各元素の位数ごとに1つの類を持つわけではない。型 2+1+1 と 2+2 はどちらも位数2だが、互いに共役ではない。

φ: Z/12Z → Z/3Z を剰余類を 3 で割った剰余類に写すことで定義します。これは全射であり、加法的性質も保ちます。その核 H は {0,3,6,9} なので、|H|=4、index は 12/4=3 です。他の剰余類は {1,4,7,10} と {2,5,8,11} です。したがって (Z/12Z)/H は Z/3Z に同型です。元の群における元素 3 の順数は 12/gcd(3,12)=4 であり、3 ではありません。

剰余集合は核の各元に対して1つではなく、各左剰余集合に対して1つの元を持つ。写像は指定された到達域に全射である必要はない。

加群 $\mathbb Z/18\mathbb Z$ において、$H=\langle6\rangle$ を考えよ。H およびその剰余類を列挙せよ。6 の位数を決定し、商群を特定せよ。

解例

$H=\{0,6,12\}$ は大きさ3である。6つの剰余類は ⟨$r+H=\{r,r+6,r+12\}$⟩ で、$r=0,1,2,3,4,5$ によって生成される。これらはすべての 18 の剰余類を分割する。元 ⟨6⟩ の位数は3であり、商の位数は6である。6による剰余は全射であり、核は H なので、$(\mathbb Z/18\mathbb Z)/H\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$ が成り立つ。元の群がアベルなので、正規性は成立する。

$S_3$ において、$H=\{e,(12)\}$ を考えよ。$H$ が正規かどうかを確認し、剰余類の乗法が商群を定義するか判定せよ。別個に、$S_5$ における ⟨$(123)(45)$⟩ の位数を求めよ。

解答後の確認

Conjugation by $(123)$ sends $(12)$ to $(23)$, which is outside H. Thus H is not normal. Left cosets still partition $S_3$, but multiplication of those cosets is not well defined independently of representatives. The disjoint cycles in $(123)(45)$ have lengths three and two, so its order is $\operatorname{lcm}(3,2)=6$. Element order and subgroup index are different quantities.