大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。
前提知識：微分、積分、指数関数および二次方程式。
- 分離可能な一次方程式を解く
- 定数係数2階微分方程式を解く
- 初期条件と一意性の条件を用いる
初期条件: 解またはその導関数の、始点における指定された値。
特性根: 指数関数的解を支配する多項式の根。
C.3 · Differential equations and initial conditions
GRE Subject Test · GRE Mathematics · トピック 8
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対象範囲と前提条件
語彙
練習する
| English | 日本語 |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 初期条件 |
| characteristic root/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ruːt/ | 特性根 |
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方法の選択と理由付け
y′=ky について、変数分離と積分により y=Ce^(kt) が得られ、y で割った場合は零解を取り戻す。初期値は C を決定する。
線形2階定数係数方程式では特性多項式を用いる。異なる根则有は指数関数を生成し、重複根则有は (C1+C2t)e^(rt) を用いる必要がある。
複素根 α±iβ 则有は e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt) を与える。実の運動には振幅と位相の両方の情報が含まれる。
存在性と一意性は初期点近傍での仮説に依存する。特異係数や局所リプシッツ条件の破綻は、一般的な一意性の結論を覆すことがある。
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解答例・推理過程
y″+4y=0を y(0)=3 および y′(0)=4 で解く。特徴根は±2iなので、y=A cos2t+B sin2tとなる。最初の条件よりA=3；微分するとy′(0)=2B=4となるので、B=2。
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条件と反例
重複特性根の場合、因数 t を用いる必要があります。同じ指数関数が2つあるだけでは、独立した解にはなりません。
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ガイデッド適用
$y''-4y'+4y=0$を$y(0)=1$、$y'(0)=0$で解き、両方の初期条件と方程式を確認せよ。
解例
特性多項式は $(r-2)^2$ である。独立解は $e^{2t}$ と $te^{2t}$ であり、したがって $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$ となる。初期値は $C_1=1$ を与え、ゼロにおける導関数は $2C_1+C_2=0$ であるため、$C_2=-2$ となる。
$$y(t)=(1-2t)e^{2t},\quad y'(t)=-4te^{2t},\quad y''(t)=(-4-8t)e^{2t}.$$
代入すると $y''-4y'+4y=0$ となり、2つの初期値が成立する。$e^{2t}$ の2倍では解空間を張らない。
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独立した転移
$y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ に対する初期値問題が、$t\ge0$ に対して複数の解を持つことを示せ。欠落している標準的な一意性の仮説を特定せよ。
解答後の確認
一つの解は恒等的に零である。任意の $a\ge0$ に対して、$y_a(t)=0$ を $0\le t\le a$ に、$y_a(t)=(t-a)^2$ を $t>a$ に設定せよ。導関数は第1区間で零であり、第2区間では $2(t-a)$ である；両辺は a において導関数が零である。したがって $y_a$ は微分可能であり、方程式と初期値を満たす。 右辺は連続であるが、ゼロにおいて y に関して局所リプシッツではない：$|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ は有界でない。存在性が一意性を保証するわけではなく、$\sqrt y$ で割ることは待機時間の解を失うことにつながる。
このトピックのインタラクティブ授業
一歩ずつ進め、即時チェック付きの問題で学習します。