T.3 · Complex analysis and residues

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：複素演算、偏微分、級数および向き付けられた境界曲線。

• 複素微分可能性を検証する
• 境界積分と留を用いる
• 単純極および高次の極の留を用いて境界積分を評価する

解析的: 近傍全体で複素微分可能であること。

留: ラグランジュ級数における (z−a)^−1 の係数。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y) と書く。複素微分可能性は u_x=v_y および u_y=−v_x を課す；局所的に第一階の偏導関数が連続であれば、コーシー・リーマン方程式によりその点で解析的となる。これらは二変数の実微分可能性とは異なる。共役関数 x−iy は開近傍のどこでもこれらの方程式を満たさないが、実の偏導関数は存在する。検証すべき領域を、便利な一点だけでなく明記すること。

解析的関数は近傍全体で複素微分可能であり、局所的収束の冪級数を持つ。除去可能な特異点は、欠落した点付近で関数が有界であれば解析的に埋められる。極ではラグランジュ級数の主部が有限個であり、本質特異点では負のべき項が無限個ある。留は (z−a)⁻¹ の係数であり、必ずしも最大次数の負のべき項ではない。

m 次の孤立極に対して、f(z)=g(z)/(z−a)^m と書き、g が a で解析的とする。留は g^(m−1)(a)/(m−1)! である。単純極には g(a)、重極には g′(a) を用いる。これは g をテイラー展開することで得られる。したがって e^z/(z−a)² の留は e^a だが、純粋な重極の分子が定数なら留はゼロとなる。極の次数だけでは境界積分は決定されない。

正の向きの境界曲線が孤立特異点を囲む場合、留の定理により ∮f(z)dz=2πi × (囲まれた留の和) が成り立つ（関数が境界上および必要な内部他所で解析的な場合）。向きを逆転させると符号が変わる。コーシーの微分公式は ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! である（解析的定義域の仮定のもと）。特異点が境界上にある場合は直接適用できず、外部にある特異点はこの境界積分への寄与はない。

f(z)=共軛(z) の場合、u=x, v=−y です。すると u_x=1 だが v_y=−1 なので、f は複素微分可能ではありません。1/(z−2) について、正向き円周 |z−2|=1 は留数 1 を持つ単一極点を内包するため、積分値は 2πi です。

連続性や実微分可能性だけでは、複素正則性を示すことができません。

コーシー・リーマン方程式を用いて $z^2$ と $\overline z$ を比較せよ。$e^z/z^2$ のゼロにおける留および反時計回りの単位円周上の積分を求めよ。

解例

$z^2$、$u=x^2-y^2$、$v=2xy$ について：$u_x=2x=v_y$ と $u_y=-2y=-v_x$ 。偏導関数は全域で連続なので、関数は全域で解析的である。$\overline z$、$u=x,v=-y$、$u_x=1\ne-1=v_y$ については、どこでも複素微分不可能である。 $e^z=1+z+z^2/2+\cdots$ より、$e^z/z^2$ における $z^{-1}$ の係数は 1 である。したがって留は 1 、積分値は $2\pi i$ となる。重極だからといって留がゼロになるわけではない。

$1/[z(z-2)]$ を $|z|=1$ 上で反時計回り、次に時計回りに積分せよ。$|z|=2$ にも同様の留の定理による議論が適用できるか？

解答後の確認

単位円周内にあるのはゼロのみである。その留は $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$ である。よって反時計回りの積分は $-\pi i$ 、時計回りの積分は $\pi i$ となる。2 にある極は外側にあるので寄与はない。 円 $|z|=2$ は極を通る。この公式による通常の境界積分は定義されない；定理には境界上での解析性が要求される。インデント法や主値の指定は、別の明示的に指定された問題となる。