A.2 · Abstract algebra and number theory

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：整数の計算、集合、関数、反例による証明。

• 群、部分群、準同型、商構造を用いる
• 環、整域、体の区別を行う
• 整除、合同、初等数論を適用する

準同型: 対応する演算を保存する写像。

体: 各非ゼロ元が逆元を持つ可換環。

群には閉包性、結合律、単位元、逆元の存在が必要である。可換性は追加条件である。

準同型は演算を保存する。その核は正規部分群であり、単位元に写る要素を特定する。

体では非ゼロ元による除法が可能である。整数は環をなすが、体ではない。

n mod n における合同を用いて計算する。剰余 a が乗法的逆元を持つのは gcd(a,n)=1の場合に限りである。

8 において、3 の逆元は 3 である。なぜなら 3・3=9≡1 だからである。しかし、2 は逆元を持たない。なぜなら gcd(2,8)=2 だからである。素数剰余系においては、零でない剰余類はすべて逆元を持ち、これにより有限体が得られる。

モジュラー方程式において因子を約分する前に、その因子が可逆か確認せよ。

$\mathbb Z/5\mathbb Z$ と $\mathbb Z/6\mathbb Z$ の加群および乗法構造を比較し、各々の乗法単元を列挙せよ。なぜ零を除いた集合が必ずしも乗法群にならないのかを説明せよ。

解例

両方の剰余類全体は加法的群である：閉包性、結合律、恒等元は整数の加法から来おり、$-a$ は加法的逆元である。乗法的剰余類が単位数であるのは、モジュロとの最大公約数が1である場合に限られる。5tnの単位数は$1,2,3,4$；6tnの単位数は$1,5$。 6 倍算において $2\cdot3=0$ は両因子が非零であっても成立する。非零の剰余の集合は乗法についても閉包ではない。5 倍算ではすべての非零剰余に逆元が存在するため、この環は体である。環、その加群、および単元の群は異なる構造である。

写像 $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ は $\phi(n)=[n]$ によって与えられます。その核、像、商群を求めよ。$2x\equiv2\pmod6$ を完全に解き、なぜ 2 を 6 で割った際の約分が成立しないかを説明せよ。

解答後の確認

この写像は加法と乘法を保つ。その核は $6\mathbb Z$ で、像はすべての 6 個の剰余である。商は余りが等しい整数を同一視するため、$\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$ となる。 同値類とは $6\mid2(x-1)$ 、すなわち $3\mid x-1$ を意味する。したがって $x\equiv1\pmod3$ となり、6 倍算における剰余は $1$ と $4$ である。どちらも正しく代入される。剰模数を 6 のままに保った状態で 2 を消去すると、4 が除外され、在那里 2 には乗法逆元が存在しない。