T.12 · Metric completeness and closure from a basis

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：メトリックス公理、コーシー列および基底からの位相論。

• 定義写像の性質を用いて引戻しメトリックスを確認する
• イソメトリーの像を通じて完全性を判定する
• ユークリデッド直感ではなく、すべての基本近傍を用いて閉包を求める

完全メトリック空間：すべてのコーシー列がその空間内の一点に収束するメトリック空間。

近傍基底：局所位相的性质を検証するために十分な基本近傍。

単射写像 h:X→R に対して d(x,y)=|h(x)−h(y)| はメトリックスである。対称性と三角不等式は R から来ており、単射性は d(x,y)=0 となるのが x=y の場合のみであることを保証する。写像 h はその像 h(X) 上のイソメトリーである。h が単射でない場合、この構成は pseudometric になるだけかもしれない。有界な距離は空間の完全性を証明するものではなく、一般的な点の集合は異なるメトリックスの下で非常に異なるコーシー挙動を持つことができる。

引戻しメトリックスは、像 h(X) が通常の実数の距離において完全である場合に限り完全である。R の閉部分集合は完全である。h(x)=arctan x における R の像は (−π/2,π/2) であり、端点を欠く。数列 n は引戻しメトリックスにおいてコーシーである。なぜなら arctan n→π/2 であるからである。しかし、arctan x=π/2 となる実数 x は存在しないため、このメトリックスは不完全である。h(x)=x³ において、像はすべて R であり、引戻しメトリックスは完全である。位相等価性だけでは完全性が保存されない。

基底を持つ位相において、x が A の閉包に含まれるのは、x のすべての基本開近傍が A と交わる場合に限られる。これは membership test であり、自動的にユークリデッドの端点演算ではない。基底は空間を覆わなければならず、2つの基底集合にある点については、それらの交差内に含まれるより小さい基底集合が存在しなければならない。一点が単独点の閉包に含まれることはありうるが、それはその単独点自体ではない；その可能性は位相に依存する。

X={2,3,4,…} において、基本集合 U_k={n in X: n divides k} (k≥2) を取れ。x∈U_x よりこれらは X を覆い、gcd が 2 以上であれば交差は U_gcd(k,l) となり、そうでなければ空となる。点 x が {n} の閉包に含まれるのは、x で割り切れるすべての k が n でも割り切れる場合、つまり n が x を割る場合に限られる。より直接的には、最小の基本近傍 U_x が n を含むのは n が x を割る場合のみであり、他のすべての x を含む近傍もこれらの約数を含む。したがって {8} の閉包は 8 の正の倍数であり、8 の約数ではない。

d(x,y)=|arctan x−arctan y| において、整数列は R の点ではなく欠落した像の端点へと向かうため、その空間内では収束しない Cauchy 列となります。 約数の基底において、16 は {8} の閉包に含まれます。 ⟨16⟩ を含む任意の基本集合は ⟨8⟩ も含めるからです。 しかし、4 は含まれません。 U_4={2,4} は ⟨4⟩ の近傍であり、8 を含みません。 これにより倍数と約数が明示的に分離されます。

Cauchy の極限は、同じ空間に含まれなければなりません。 完全性はメトリックの性質であり、単なる位相の性質ではありません。 閉包については、一点集合の値の近傍だけでなく、候補点の近傍をすべてテストしてください。

$\mathbb R$ 上で $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ と $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ を比較せよ。これらがメトリックスであることを示し、完全性を判定せよ。

解例

両方の定義写像は単射であり、正の分離を与える；絶対距離は対称性と三角不等式を与える。各写像は実像への等距写像である。立方体写像の像は全体 $\mathbb R$ であり、これは完全空間なので、d1 は完全である。arctangent の像は開区間 $(-\pi/2,\pi/2)$ であり、これは不完全である。数列 n は arctan n が π/2 に近づくため d2-コーシーであるが、その像を持つ実点は存在しないため、d2-極限を持たない。有界な計量値は完全性を意味しない。

$X=\{2,3,4,\ldots\}$において除数基底 $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$ を用いる。$\{6\}$ の閉包と $\{6\}$ の内部を求めよ。空集合の交わりを含む基底の条件を検証せよ。

解答後の確認

すべての x は Ux に属する。gcd が2以上であれば交わりは $U_{\gcd(k,l)}$ であり、gcd が1であれば空である。したがって、ある点はその交わりに含まれる基本近傍を持つ。 x の最小の基本近傍は Ux であり、x を含むすべての Uk に含まれる。これは {6} と $6\mid x$ のときに限り交わる。したがって、閉包は $\{6,12,18,\ldots\}$ 、すなわち六の倍数である。点六は単独集合の内部に含まれない。なぜなら、U6 にも二と三が含まれるからである。他の点はその単独集合に含まれないため、内部は空である。この閉包の計算では、ユークリッドの直感ではなく、すべての基本近傍を使用している。