C.12 · Related rates and removable quotient limits

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：合成関数の微分法、円断面、極限。

• 幾何学的なレートを実際の量に関する微分に変換する
• 球冠体積の公式を導出し微分する
• 連続的商の延長と微分可能な延長を分離する

関連レート: 変化する量の間の関係式を微分して得られるレート。

除去可能な極限: 欠落している関数値を連続的に埋めるために用いられる有限の近傍の極限。

深さ h(t) に依存する量 V について、合成関数の微分法より dV/dt=V′(h) dh/dt となります。排水タンクでは dh/dt<0 なので、符号付き dV/dt は負であり、流出の絶対値はその負の値です。数値を代入する前に幾何学を描き、瞬間の深さを名付けましょう。実際一定の平均レートが指定されている場合を除き、これを経過時間で割った静止した体積として扱わないでください。

半径 R の球形タンクは、底からの深さ h において断面半径の二乗が R²−(R−h)²=2Rh−h² となります。これらの円形面積を積分すると、球冠体積 V(h)=π(Rh²−h³/3)、0≤h≤2R が得られます。その導関数 π(2Rh−h²) は現在の断面面積です。R=3, h=1, dh/dt=−1/4 のとき、符号付き体積レートは −5π/4、流出の絶対値は 5π/4 となります。この公式は指定された範囲内の浅いおよび深い球冠の両方に適しています。

f と g が零の近傍で連続微分可能で、f(0)=g(0)=0 かつ g′(0)≠0 のとき、f(x)/g(x) は f′(0)/g′(0) に収束します。これは f(x)=f′(0)x+o(x) および g(x)=g′(0)x+o(x) から導かれ、g′ の連続性により零以外の近傍で商が定義されます。この極限を埋めることで連続的な延長が得られます。この議論には f′(0)≠0 である必要はなく、拡張された商が微分可能であることを証明するものではありません。

f(x)=x|x| および g(x)=x はともに連続微分可能で、f(0)=g(0)=0 かつ g′(0)=1 です。x≠0 におけるその商は |x| であり、零で連続的に拡張できますが、片側微分係数が異なります。(f²−f)/(2g−g³) は (f/g)(f−1)/(2−g²) と因数分解でき、その除去可能な極限は −f′(0)/(2g′(0)) です。追加の因数は −1 および 2 に近づきます。商の極限とその延長の微分を区別してください。

R=3、深さ h=1 の球において、断面積は π(6−1)=5π です。 時間単位あたり 1/4 の深さ減少 therefore 体積は時間単位あたり 5π/4 の絶対値で失われます。 f(x)=sin(2x)、g(x)=3x について、商は0で値 2/3 として連続的に拡張されます。 この極限はタンクのサイズについて何も示さず、従属変数を特定せずに導関数の速度として代入すべきではありません。

総タンク表面積ではなく瞬時の断面積を使用してください。 指示に従って符号付き体積変化または正の流出量を報告してください。 有限の可除商の極限は、埋め込みられた商の微分可能性ではなく、連続性を確立します。

半径 2 m の球形タンクがあり、水深 h は底部から測る。V(h) を導せ。h=1 m かつ $dh/dt=-0.1\ \mathrm{m/min}$ のとき、符号付き体積変化および流出量の大きさを求めよ。

解例

深さ s において、断面積の半径は $r(s)^2=2Rs-s^2$ に従う。円盤を積分すると、$0\le h\le2R$ に対して $V(h)=\pi(Rh^2-h^3/3)$ が得られる。

f, g がゼロ近傍で連続的に微分可能であり、$f(0)=g(0)=0$, $f'(0)=4$, $g'(0)=2$ と仮定する。$(f^2-f)/(2g-g^3)$ の可除極限を求めよ。これらの仮定は拡張された商の微分可能性を暗示するか？その一般化された含意に対する反例を示せ。

解答後の確認

g'(0) がゼロでないため、分母はゼロを除く近傍でゼロではない。式を $(f/g)(f-1)/(2-g^2)$ と因数分解できる。その極限値は $(4/2)(-1)/2=-1$ である。一階微分可能性により $f/g\to f'(0)/g'(0)$ が得られるが、二階の制御は得られない。 これらの導関数を維持する反例として、$f(x)=4x+x|x|$ および $g(x)=2x$ を取れ。これらは連続的に微分可能である。非ゼロの x について商は $(2+|x|/2)(-1+4x+x|x|)/(2-4x^2)$ となる。その展開は $-1+4x-|x|/4+O(x^2)$ であり、異なる片側導関数を与える。したがって拡張は連続的だが微分可能ではない。