A.1 · Linear algebra

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：一次方程式、行列の乗法、多項式および複素根。

• 線形系のランク、零次元および解との関係を説明する
• 向量空間と線形写像を分析する
• 固有値、行列式および対角化条件を計算する

rank（ランク）: 線形写像の像の次元。

eigenvalue（固有値）: nonzero な v に対して Av=λv を満たすスカラー。

実向量空間は、指定された加算とスカラー倍に対して閉じており、向量空間の公理を満たす。基底は独立した生成リストであり、すべてのベクトルはそのリストにおいて一意の座標表現を持つ。行列の列の独立性を検証するには、同次系 Ac=0 を解く必要がある；ゼロ係数ベクトルのみが独立性を示す。生成集合には冗長なベクトルが含まれる可能性があるため、生成するだけでは基底にはならない。

行基本変形は、線形系の解集合を変えずにピボットと自由変数を明らかにする。ランクは列の像の次元であり、等価的にピボットの個数である。零次元は核の次元である：n 次元の定義域からの写像に対して、rank+nullity=n である。非同次系において、右辺がゼロではない零係数行は不一致を意味し、自由変数は一致が確認された後にのみ無限個の解をもたらす。陪域の次元がランクと等しい必要はない。

正方形行列は、行列式がゼロでない、核がゼロ、ランクがサイズと等しい場合にのみ可逆である。これらの命題は、各成分がゼロでないことを要求しない。三角行列の行列式は対角成分の积であるため、ある行列が複素変数に依存する場合、実数計算には含まれない複素根において特異になることがある。行の入れ替えは行列式の符号を反転させ、ある行の倍数を別の行に加えることは行列式を変えない。逆行列公式を適用する前に特異性を確認せよ。

固有ベクトルはゼロではなく Av=λv を満たすため、固有値は det(A−λI) の根である。対角化には、選択した場における完全な独立した固有ベクトルの基底が必要である。異なる固有値は独立した固有ベクトルを与えるが、重複固有値は固有空間が小さすぎる場合がある。実対称行列は、実の直交固有基底を持つ。実の奇数次元行列は、その実特性多項式が奇次数であるため、少なくとも1つの実固有値を持つ；これだけで対角化が可能であることや、すべての固有値が実であることが implied されるわけではない。

A=[[1,1],[0,1]] の特性多項式は (1−λ)² です。固有ベクトルは y=0 を満たすため、固有空間の次元は1です。2×2 行列を対角化するには2つの線形独立な固有ベクトルが必要ですが、Aは対角化できません。

固有値の代数的重数は自動的にその固有空間の次元と一致するわけではない。

$T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$と$T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$に対して、核の基底と像の基底を求めよ。$T(v)=(3,6)$と$T(v)=(3,7)$を解け。

解例

The second row is twice the first, so rank is one. The homogeneous equation gives $x=-2y-z$.

表示された2つのベクトルは線形独立である。すべての出力は$(s,2s)$であり、$(1,2)$が含まれる；これは像の基底である。ランクと零空間次元の和は$1+2=3$で、定義域の次元に等しい。 $(3,6)$に対して、すべての解は$(3-2a-b,a,b)$であり、$a,b\in\mathbb R$を含む。$(3,7)$については解が存在しない。なぜなら$7\ne2\cdot3$だからである。

$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ とおく。その固有値、行列式、および$\mathbb R$ ならびに$\mathbb C$ での対角化を決定せよ。整数$n\ge1$ に対して$A^n$ を、繰り返し乗算を使わずに見つけよ。

解答後の確認

特性多項式は$(2-\lambda)^2$であり、$\det A=4$である。$(A-2I)v=0$を解くと$v_2=0$となるので、どちらの体においても固有空間の次元は1である。2つの線形独立な固有ベクトルが必要である；この行列は可逆だが、どちらの体上でも対角化できない。 $N^2=0$において$A=2I+N$と記す。交換可能な二項展開では2項のみが残る：

この式に$A$を掛けると、$n+1$の公式が得られ、係数を独立して確認できる。