C.11 · Integration by parts, order reversal and symmetry

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：積の微分則、反常極限、平面領域の積分。

• 有効な端点極限を用いて、部分積分による降次を導出する
• 二重積分の領域を再構築して、積分順序を逆転させる
• 反射対称性を用いながら、除外可能な端点の挙動を確認する

部分積分: 積の微分則に基づく、境界項を含む積分恒等式。

反射対称性: 区間の中央点を境に鏡映される点における被積分関数の値の間の関係。

部分積分は積の微分則から導かれる：∫u dv=uv−∫v du。定積分の場合、両端の境界項を含める。I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt において、u=(ln t)^n, dv=dt と選ぶ。n≥1 のとき、下限はゼロになるため、I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1) が得られる。プラス記号则会违反微分后的恒等式。帰納式では下限を統一しておくべきであり、変えると定数が変わる。

反則積分については、まず有限の端点において恒等式を適用し、その後極限境界と残りの積分を正当化します。∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π が成り立つとき、∫x²e^(−x²)dx に対して u=x, dv=x e^(−x²)dx とおきます。v=−e^(−x²)/2 であり、両端で x e^(−x²)→0 となるため、完全な第2モーメントは √π/2 です。偶関数の性質により正の半直線でのモーメントは √π/4 となります。消失する境界条件は議論の一部であり、すべての反則積分に自動的に成立する性質ではありません。

∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx の順序を逆転させるには、領域 0≤x≤y≤1 を説明し、それを ∫₀¹↦0^y F(x,y)dx dy と書き換えます。外側の区間と内側の境界の両方が変化します。記号を単に交换しても領域が変わります。F=e^(y²) の場合、x で積分すると ∫₀¹^y e^(y²)dy=(e−1)/2 となります。このコンパクトな三角形上の連続性により順序の逆転が有効であり、特異点や条件付き収束の場合はより厳密な注意が必要です。

可積分関数 f が [a,b] 上で f(a+b−x)=−f(x) を満たす場合、反射により積分は自身の負に等しくなるためゼロである。sin(2mx)/sin x が [0,π] 上で正の整数 m の場合、反射 x↦π−x は分子の符号を変え、分母を保つ。見かけの端点での特異点は除去可能であり、極限は zero で 2m、π で −2m である。対称性を適用する前にこれらの極限を確認せよ。 cancellation は可積分性の代替にはならない。

I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt について、帰納公式は x(ln x)²−2I₁(x) を与え、I₁(x)=x ln x−x+1 である。したがって I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2 となる。定数 −2 は I₂(1)=0 を保証している。別個に、三角形状の e^(y²) 積分の順序を反転させると、内側の x の長さから因子 y が生じる；この因子を除外すれば元の難易度に戻り、値も変わる。

improper 部分積分には端点の極限が必要である。順序を反転させる前に領域を再構築せよ。不気味な反射被積分関数は、除去可能な端点を含めても可積分でなければならない。

$\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ を評価するには順序を逆転させます。逆転前後の領域を説明してください。$I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$, $x>0$ に対する公式を導出してください。

解例

領域は $0\le x\le y\le1$ です。順序を逆転した際、y は零から一まで、x は零から y まで範囲を持ちます。コンパクトな三角形上の連続性により順序の逆転が可能となり、$\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$ が得られます。 $u=(\ln t)^2$, $dv=dt$ による部分積分により $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$ が得られます。$I_1=x\ln x-x+1$ なので、

正整数 m に対して $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$ を評価してください。対称性を適用する前に端点の可積分性を正当化してください。

解答後の確認

端点の極限は、一次正弦の極限により零で 2m、pi で -2m です。両方の特異点は除去可能なので、連続的に拡張された被積分関数は可積分です。反射 $x\mapsto\pi-x$ は分母を保ち分子の符号を反転させます。積分は自身の負の値となるためゼロです。対称的な相殺のみでは真に発散する端点の収束を示せません。除去可能な極限が不可欠です。