A.7 · LU factorisation and nullity of composed maps

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：行変形、三角系、階数-零度定理。

• 前向き代入と後向き代入によって因数分解された線形系を解く
• ピボット選択が必要な場合に一貫して行の入れ替えを適用する
• 画像・核の交差を用いて合成の核次元の上限を評価する

順列代入: 下三角系を最初の式から順に解くこと。

零次元: 線形写像の核の次元。

因分解 A=LU は正方形行列を下三角行列 L と上三角行列 U の積として表す。主対角線が単位行列の L に対して、順列 substitution は特に単純である。可逆行列でも行入れ替えなしではこの形を持たないことがある：ゼロの先行ピボットは置換を必要とする。PA=LU において、Ly=Pb を解き、次に Ux=y を解く。置換は係数行列だけでなく右辺にも作用する。非ゼロの先行主元ピボットは、可逆性 alone ではなく通常の行入れ替えなしの消去法を正当化する。

Ly=b において、y は上から下へ計算し、既知の項を差し引く。対角成分が 1 でない場合は除算を行う。Ux=y においては、x は下から上へ計算する。各式について元の行に代入して検証を行う。 LU を複数の右辺で再利用すれば、消去処理を繰り返す必要がない：密集因数分解は次元に対して立方オーダーの演算量であるのに対し、各三角系の求解は二次オーダーである。正確な算术で小規模な例を検証できるが、数値的なピボット操作は丸め誤差の一部を軽減しても、内在的な不整条件を完全に除去することはできない。

B:V→W および A:W→Z について、ker B は ker(A∘B) に含まれるが、後者はより大きいことがある。追加されるベクトルとは、B によって ker A 内に写されるものである。B を ker(A∘B) に制限すると、その像は im B∩ker A となり、その核は ker B となる。この制限された写像に対するランク-零次元定理により、dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A) が得られる。交差、すなわち A の全核ではなく、これが追加の零次元を決定する。

R⁶ 上の自己同型で、A の零次元が 2、B の零次元が 3 の場合、rank B=3 であり、交差の次元は 0 から 2 の範囲を取りうる。したがって、A∘B の零次元は 3 から 5 の範囲となる。境界は共通の中間空間に依存する：m 次元空間における次元 r, s の部分空間の交差の次元は、max(0,r+s−m) と min(r,s) の間にある。合成の順序を逆転させると零次元が変わるが、AB と BA がともに定義されている場合も同様である。これらの公式を用いる前に、互いに整合する空間を選ぶこと。

L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]]、U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]]、b=(−1,−1,12) とします。順代入により y=(−1,1,8) が得られます。逆代入により x₃=2、x₂=(1−4)/3=−1、x₁=(−1−(−1)+2)/2=1 が得られます。したがって x=(1,−1,2) です。 Ux を掛けると y に、Ly を掛けると b になり、因数分解の順序を独立して確認できます。

まず L で、次に U で解き、PA=LU の場合は b を並べ替えます。写像の合成の零空間（nullity）は、必ずしも2つの零空間の和ではありません；画像と核の交わりが零空間 B に加算される場合に限ります。

$L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$, $b=(5,12)^T$ を与える。LUx=b を解き、乗算された行列で検証せよ。PA=LU のとき、Ax=b を解く際、P はどこに作用するか？

解例

まず Ly=b を解く：$y_1=5$, $2y_1+y_2=12$ より、$y_2=2$ となる。次に Ux=y により、$x_2=1$ と $3x_1+1=5$ が得られ、よって $x_1=4/3$ となる。积行列は $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}$ であり、これに $(4/3,1)^T$ を適用すると $(5,12)^T$ となる。PA=LU の場合、元の方程式に P を掛けて Ly=Pb を解き、その後 Ux=y を解く。b に対する P を省略すると異なる系を解いていることになる。

Let A and B be endomorphisms of $\mathbb R^5$ with nullities two and three, respectively. Find all possible nullities of AB, and justify both the bound and attainability.

解答後の確認

rank B は 2 である。B を $\ker(AB)$ に制限すると、

交わりの2つの部分空間は5次元で次元2なので、交わり次元は0, 1, 2となり得る。よって nullity は 3, 4, 5 である。各ケースを実現するには、$\ker A=\operatorname{span}(e_1,e_2)$ と画像Bとして $\operatorname{span}(e_3,e_4)$, $\operatorname{span}(e_1,e_3)$, $\operatorname{span}(e_1,e_2)$ を選べ。その画像上に任意のランク2の B を定義すればよい。これらの構成は単なる緩い区間限界ではなく、達成可能性を示す。