C.10 · Implicit differentiation and the inverse Jacobian

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：連鎖律、行列の逆行列、局所逆関数の仮定。

• 連立陰関数系を線形系として微分する
• 非ゼロのヤコビアン行列式を用いて局所逆関数を正当化する
• 逆偏微分とスカラーの逆数則を区別する

ヤコビアン行列：ベクトル値写像の1次偏導関数からなる行列。

局所逆関数：特定の入出力点の近傍で定義された逆関数。

微分可能な写像 F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)) に対して、そのヤコビアンは J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]] である。微小な変化は [dx,dy] (転置)=J[du,dv] (転置) を1次の精度で満たす。y を固定して u_x を求めるには、両方の定義式を x で微分する：f_u u_x+f_v v_x=1 および g_u u_x+g_v v_x=0。これらは2つの独立したスカラー逆則ではなく、連立線形系である。

f と g が点の近傍で連続微分可能であり、det J=f_u g_v−f_v g_u がそこで非ゼロであれば、逆関数定理は微分可能な局所逆関数を保証する。その導関数は J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]] である。したがって、u_x=g_v/det J、u_y=−f_v/det J、v_x=−g_u/det J、v_y=f_u/det J となる。すべての導関数は対応する点で評価する。局所逆関数が全体的な逆関数に拡張される必要はない。

陰関数 H(u,v,x,y)=0 および K(u,v,x,y)=0 に対して、要求された独立変数座標を固定して微分する。[[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (転置)=−[H_x,K_x] (転置) を解く。未知変数 u,v における行列式が非ゼロでなければ、通常の陰関数定理を使用できる。右辺の符号は既知の導関数を他方へ移すことによるものである。行列式が零の場合、この定理では判断がつかず、それ自体で逆関数や陰関数解が存在しないことを証明するものではない。

スカラーの短縮法 du/dx=1/(dx/du) は導関数が非ゼロの単一変数逆関数では成立するが、通常は連立系では成立しない。なぜなら、y を固定するために v が変化するからである。x=u+v, y=u+2v に対して、J=[[1,1],[1,2]] は行列式 1 を持ち、逆行列 [[2,−1],[−1,1]] を持つ。したがって u_x=2 であるのに対し、1/f_u=1 となる。逆ヤコビアン行列は微分の感度を変換するが、変数変換積分では面積や体積の拡大率として特定の逆行列要素ではなく絶対行列式を使用する。

x=u²+v および y=u−v とおく。(u,v)=(1,0) における出力は (1,1) であり、J=[[2,1],[1,−1]] の行列式は −3 である。逆行列は [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]] なので、その点で u_x=1/3 および v_y=−2/3 となる。Jにこの逆行列を掛けると単位行列になる。逆数 1/f_u=1/2 は u_x ではない。なぜなら、yを一定に保つためにuを変えるときvも変える必要があるからである。

両方の方程式を微分し、どの出力が固定されているかを明記せよ。正則性仮説の下、非ゼロ行列式は局所逆の存在を保証する；ゼロ行列式は不可能性の証明ではない。感度には逆行列の要素を、積分には絶対行列式を用いる。

$x=u^2+v,y=u-v$ とする。$(u,v)=(1,0)$ において逆ヤコビアン行列および4つの逆偏微分を求める。乗算によって確認する。

解例

対応する出力は $(1,1)$ である。ヤコビアン行列は $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ で行列式 -3 を持ち、非ゼロである。連続的な偏導関数は微分可能な局所逆関数を示す。したがって

行を (u_x,u_y) および (v_x,v_y) として読み取ると、すべて出力 (1,1) において一致する。乗算により単位行列が得られる。特に $u_x=1/3$ であり、$1/x_u=1/2$ ではない。y を固定するために v が変化するからである。

$F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$ について、原点以外の点でその導関数が可逆かどうか、また F が除去原点平面全体で単調（一対一）かどうかを判定せよ。原点での行列式の零がそれ自体何を示すか。

解答後の確認

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ であり、零以外的の点では逆関数定理により局所逆関数が存在する。しかし、$F(u,v)=F(-u,-v)$ であるため、除去原点平面全体では単調ではない。零での行列式の消失は、その点で微分可能な局所逆関数が保証されないことを意味する。それは、ある写像に対して局所集合論的逆関数が一切存在しないという一般論の証明ではない。例えば、スカラーの立方写像は原点での導関数が零にもかかわらず双射である。