C.9 · Integrating factors and nonhomogeneous differential equations

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：一次乗法則、指数関数および特性方程式。

• 積分因子を用いて一次線形微分方程式を解く
• 定数係数の解の同次部分と特解部分を構築する
• 共振を取り扱い、元の方程式で結果を検証する

積分因子: 一次線形方程式を積の導関数に変換するための乗数。

特解: 指定された非同次外力に対する解の一つ。

一次線形方程式は y′+p(x)y=q(x) の形で、係数が連続な区間で定義される。分離可能である必要はない。μ(x)=exp(∫p(x)dx) と置く。μ′=pμ であるから、両辺に掛けると (μy)′=μq となり、よって y=μ⁻¹(∫μq dx+C) となる。p の任意の適当な原関数を選び、その積分定数は μ のスケールを変化させるだけで、解からは消滅する。積分後に初期条件を適用し、選んだ区間外の特異な係数の点を除外すること。

y′+2xy=x （y(0)=1）の場合、μ=e^(x²) となる。これにより (e^(x²)y)′=x e^(x²) となり、その積分は e^(x²)/2+C である。したがって y=1/2+C e^(−x²) となり、初期条件から C=1/2 が得られる。直接代入によって y′+2xy=x が満たされることを確認できる。積分因子は左辺を積の導関数にするものであり、最終的な答えにおいて元の右辺に残留する余分な因子ではない。

For ay″+by′+cy=r(x) with a nonzero, solve the characteristic equation aλ²+bλ+c=0 for the homogeneous part. Distinct real roots give two exponentials; a repeated root λ gives (C₁+C₂x)e^(λx); roots α±iβ give e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). The complete solution is y_h+y_p. A polynomial forcing suggests a polynomial particular trial; an exponential or sine/cosine forcing suggests the corresponding family, with enough coefficients to account for differentiation.

If a particular trial duplicates a homogeneous solution, it cannot produce the forcing: multiply by x once for a simple root, twice for a repeated root. For y″−3y′+2y=e^x, the naive Ke^x is annihilated. Trying Kxe^x gives −Ke^x, so y_p=−xe^x. Initial conditions determine the homogeneous constants only after adding y_p. Substitute the final function into the original equation to check signs and forcing; an initial-value check alone cannot verify the differential equation.

y″−3y′+2y=4 において、特性根は 1 と 2 である。定数特定の解 y_p=2 は 2y_p=4 を与えるので、y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2 となる。y′+2xy=x および y(0)=1 に対して、独立した一次方程式の解は y=(1+e^(−x²))/2 である。これらは異なる手法を示している；左辺が線形だからといって方程式がhomogeneousになるわけではない。

特殊解を維持すること。共振的な試行には x の因数が必要である。積分因子による導出は有効な係数の区間で行われ、y で割ったり、零解を黙って破棄したりしてはならない。

$y'+2y=e^x$, $y(0)=1$ を積分因子を用いて解け。答えを直接検証せよ。

解例

係数は全域で連続している。積分因子は $\mu=e^{2x}$ である。両辺を乗すると $(e^{2x}y)'=e^{3x}$ となり、積分すると $y=e^x/3+Ce^{-2x}$ となる。初期条件より C=2/3 であり、したがって $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$ となる。微分すると $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$ となり、2y を加えると $e^x$ となる。y(0)=1 である。

$y''-2y'+y=e^x$ を $y(0)=0,y'(0)=0$ で解け。なぜ $Ke^x$ や $Kxe^x$ が適切な特定の試行にならないかを説明せよ。

解答後の確認

均質解は重数2の 1 であるため、$y_h=(C_1+C_2x)e^x$ となる。提案された試行の両方はすでにこの均質空間に含まれており、消滅する。$y=e^xv$ を用い、次に $y''-2y'+y=e^xv''$ とする。したがって $v''=1$ および $v=x^2/2+C_2x+C_1$ である。2つの初期条件より $C_1=C_2=0$ が得られ、よって $y=x^2e^x/2$ となる。この代入により、初期値に依存せずとも強制項を確認できる。