T.10 · Vector geometry, projections and oriented area

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：座標ベクトル、内積・外積、およびノルム。

• 内積を用いて角度を分類し、射影を計算する
• 外積を用いて三角形の面積と向きを計算する
• 平面内の内積の符号構成を構築するか、あるいは排除する

直交: 実内積空間において、内積がゼロであること。

外積: 3次元における向き付けられた垂線ベクトルであり、その大きさは平行四辺形の面積に等しい。

零でない実ベクトル u, v に対して、u·v = |u||v| cos θ が成り立つ。正、零、負の内积はそれぞれ鋭角、直角、鈍角の小さい角に対応する。v の u 方向へのスカラー射影は (v·u)/|u| であり、ベクトル射影は ((v·u)/(u·u))u である。この射影からの差分は u と直交する。射影されたベクトルと符号付きスカラー成分を混同しないように注意すること。零ベクトルはすべてのベクトルと直交するが、定義された角度方向を持たない。

3次元ベクトルについて、u×v は両方と垂直で、長さは |u||v| sin θ である。座標計算には (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁) を用いる。この長さは平行四辺形の面積なので、2つの辺ベクトルからなる三角形はその面積の半分である。順序を逆転させると外積も逆転するが面積は保たれる。両方の辺ベクトルを同じ頂点から構成し、無関係な位置ベクトルの外積では通常誤った三角形の値になることに注意。

点 p を通り非零法線 n を持つ平面の方程式は n·(x−p)=0 である。q から平面までの距離は |n·(q−p)|/|n| で、分母は方程式のスケールを正規化する。スカラー三重積 u·(v×w) は符号付き平行六面体の体積を与え、その絶対値は幾何学的体積となる。三重積がゼロなら、各ペアが互いに垂直または平行であるとは限らず、3つの辺ベクトル間に依存関係があることを意味する。

4つの平面ベクトルについて、順序対でない内积の組み合わせは6つあります。配置 e₁,−e₁,e₂,−e₂ は2つの負の内积と4つのゼロを含み、 e₁,e₁,e₂,e₂ は2つの正の内积と4つのゼロを含みます。4つの非ゼロベクトルがすべてのペアの内积を負にすることはできません。円周上に方向を並べると、連続する角度間隔はすべて 90°を超えなければならず、4つの間隔の総和は 360°を超えます。ゼロベクトルは厳密に負である要求を救い出せません。なぜなら、その内积はゼロになるからです。

p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0) とするとき、辺ベクトルは u=(2,0,0), v=(0,3,0) である。外積は (0,0,6) となり、三角形の面積は 3 となる。w=(3,4) および u=(1,0) に対し、ベクトルの射影は (3,0)、直交成分は (0,4) である。平面 2x−y+2z=6 の法線の長さは 3 なので、原点からの距離は 6/3=2 となる。

外積の大きさは平行四辺形の面積なので、三角形にするには半分にする。内積がゼロであることは、零ベクトルであっても代数的な直交性を示す。平面までの距離を求める際は、必ず法線の長さで割る必要がある。

$v=(2,3,6)$ を $u=(1,0,2)$ に射影せよ。頂点 O, u, v の三角形の面積を求めよ。射影の残差が u と直交することを確認せよ。

解例

$v\cdot u=14$ と $u\cdot u=5$ より、ベクトル射影は $(14/5)u=(14/5,0,28/5)$ となる。残差は $(-4/5,3,2/5)$ であり、それと u の内积はゼロである。外積は $u\times v=(-6,-2,3)$ であり、ノルムは七である。三角形の面積は平行四辺形の面積の半分、つまり $7/2$ である。両方の辺ベクトルは O から始まる；無関係な位置ベクトルの外積では、求める三角形の値は通常計算できない。

$\mathbb R^2$ 内にある4つの零でないベクトルは、すべての6組のペアの内積が厳密に負になるか？証明を述べる。ゼロの内积を許容すると可能性はどう変わるか？

解答後の確認

円周上の方向を並べ替える。連続する隙間は必ず $\pi/2$ を超えなければならない：もし隙きが $\pi/2$ 以下であれば、その対は非負の内積を持つことになる。4つのSuchな隙の和は $2\pi$ より大きくなるため不可能である。したがって、すべての6つの積が厳密に負であることはできない。非正の積を用いれば、 $e_1,e_2,-e_1,-e_2$ は機能する：連続した対は直交し、反対側の対は負の積を持つ。零ベクトルは厳密な負性を満たすことができない。