T.9 · Similarity, scaling and conic distance loci

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：相似三角形、距離公式、二次方程式。

• 辺の比を形成する前に、等しい角に基づいて三角形の頂点を対応させる
• 長さ、面積、体積の拡大係数を幾何学的変化に適用する
• 放物線の距離条件を特定し、符号付き双曲線の片を保持する

相似: 対応する角が等しく、対応する長さの共通比を持つこと。

焦点: 放物線の距離定義に用いられる固定点。

三角形の対応する角が一致するとき、それらは相似である；そのとき対応する辺の比も等しくなる。頂点の対応関係を明確に記せ。三角形APQにおいて∠A = ∠A (ABC)、∠P = ∠C のとき、順序対応は A↔A, P↔C, Q↔B となる。したがって AP/AC=AQ/AB=PQ/CB である。辺APはAB上に存在するが、ACに対応する；辺の位置や文字Pによるマッチングは、誤った比を与えることがある。

共通の長さスケール因子 k>0 において、長さは k 倍、面積は k² 倍、体積は k³ 倍となる。長さの 30% 増加とは k=1.30 ことを意味するため、面積の増加は 1.30²−1=0.69、すなわち 69% である。これは 60% ではない。体積比が 27 の相似立体において、長さ比は 3、表面積比は 9 である。百分率の変化と絶対差は異なる量である。百分率に変換する前に、新しい値から古い値への比率を書け。

円は一点までの距離を一定とする。楕円は二つの焦点までの距離の和を一定とする。双曲線はこれらの距離の絶対差を一定とする；放物線は焦点までの距離と准線までの距離の等しさを一定とする。これらは点集合の定義であり、暗記すべきスケッチではない。焦点が(−c,0)および(c,0)の場合、楕円は a>c を満たす和 2a を用いる。非退化な双曲線は ⟨0<a<c ⟩を満たす絶対差 2a を用い、符号付きの差がその二つの枝を区別する。

横軸に共軸を持つ双曲線について、 c²=a²+b² であり、方程式は x²/a²−y²/b²=1 です。r_A を (−c,0) までの距離、r_B を (c,0) までの距離とします。条件 r_A−r_B=2a>0 は右の枝 x≥a を選び、負の条件は左の枝を選びます。二乗するとこの符号を失うことがあるので、方程式を得た後に元の距離条件を確認してください。差がゼロである場合は双曲線ではなく垂直二等分線を与え、三角形不等式により焦点間の分離を超える差は不可能です。

AB=10、AC=15、BC=20 とします。AB上の点PでAP=6、AC上の点Qで∠APQ = ∠ACBとなる場合、AP/AC=6/15=2/5 なので、PQ=8、AQ=4 です。別個に、焦点が (−5,0),(5,0) で左からの距離 minus 右からの距離 が 6 である場合、a=3、b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 （x≥3）となります。点 (−3,0) は平方方程式を満たしますが、符号条件には満たしません。

辺よりも先に角を一致させてください。面積のパーセンテージは長さの係数の二乗を使います。平方された距離方程式は、元の問題で片方の枝のみを求めている場合でも両方の枝を表すことがあります。

相似立体の表面積比は 9:25 です。対応する長さ比と体積比を求めます。三角形比を形成する前に頂点を一致させる必要性を説明してください。

解例

正の平方根を取ることで長さ比は 3:5 になります。立方することで体積比は 27:125 になります。面積比自体が長さスケールではありません。対応する頂点は等しい角と一致する必要があります；そうでなければ比率は関連のない辺同士を比較することになります。ここでは相似性が前提としており、面積比のみでは任意の立体が相似であることを証明できません。

焦点が$A=(-5,0)$および$B=(5,0)$の場合、軌跡$|PA|-|PB|=6$を求めよ。標準方程式を導き、枝を選び、未二乗の関係での頂点をチェックせよ。要求される差が12の場合どうなるか？

解答後の確認

$r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$と$r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$を記す。元の条件は$r_A-r_B=6$である。$r_A^2-r_B^2=20x$より、距離の差にその和を掛けると$r_A+r_B=10x/3$となる。したがって$r_B=5x/3-3$であり、これは非負でなければならない。この等式の両辺を二乗すると$(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$が得られる。展開して整理すると$16x^2/9-y^2=16$となる。よって半焦点距離は c=5、半差は a=3、双曲線は$x^2/9-y^2/16=1$となる（$b^2=c^2-a^2=16$を用いる）。元の正の差は右側の枝$x\ge3$を選ぶ。点$(3,0)$では距離が8と2で差は六、点$(-3,0)$では差は負の六となる。単に二乗すると、この不適切な枝も残ってしまう。差12が$|AB|=10$を超えており、逆三角形不等式により不可能である。