T.8 · Conditioning, Bayesian inference and sampling error

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：確率表、期待値、分散、独立したサンプリング。

• 条件付き確率、連立確率、独立事象の確率を区別する
• 完全なベースレート表を使ってposterior probability（事後確率）を計算する
• 分散とサンプルサイズを使ってsample mean（標本平均）の標準誤差を求める

posterior probability（事後確率）：事前比率を考慮した後の観測された証拠に基づいた確率。

standard error（標準誤差）：繰り返しサンプルにおける統計量の標準偏差。

P(B)>0 のとき、P(A|B)=P(A∩B)/P(B)：分数を計算する前に population（母集団）を B に限定する。independence（独立性）とは P(A∩B)=P(A)P(B)、すなわち分母がゼロでない限り P(A|B)=P(A) であることを意味する。正の確率を持つ mutually exclusive（排反）事象は independent になり得ない。なぜなら、連立確率はゼロだからである。無放回サンプリングは通常、後続の確率を変化させる。 successive draws（連続的な抽出）に対して固定された分母を使うことは、別の実験を記述することになる。

prior category proportion（事前カテゴリ比率）に適切な conditional probability（条件付き確率）を掛けて joint probabilities（連立確率）を構築する。D が条件、+ が陽性結果なら、P(D∩+)=P(D)P(+|D)。全体の陽性確率は P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D) であり、これらは disjunct（離散）であり、すべての陽性結果をカバーするからである。ベイズの定理は最初の joint probability をこの total で除く。sensitivity（感度）は P(+|D) であり、specificity（特異度）は P(−|not D) である。false-positive rate（偽陽性率）は1 minus specificity（1 - 特異度）である。

有病率 2%、感度 90%、特異度 95% の仮想的なテストにおいて、明瞭さのために人口を 10,000 とします。疾患を持つ 200 人中、 180 人が陽性です。疾患を持たない 9,800 人中、 490 人が陽性です。したがって、陽性結果 670 個のうち 180 個に疾患があります：事後確率は 18/67 で、およそ 26.9% です。条件付きを逆転させると 90% となり、異なる問いに対する答えとなります。これは数学的モデルであり、臨床判断に関する推奨事項ではありません。

For independent identically distributed observations with finite variance σ², the sample mean has expectation μ and variance σ²/n; its standard error is σ/√n. This is spread of repeated sample means, not the spread of individual observations. Quadrupling n halves the standard error, rather than quartering it. Normal population data give an exactly normal mean; otherwise a central-limit approximation needs adequate conditions and sample size. Correlation invalidates the simple independent variance calculation.

P(A)=0.4、P(B)=0.5、P(A∩B)=0.3 とする。すると P(A|B)=0.6 となるため、A と B は独立ではない（なぜなら 0.3≠0.4·0.5 だから）。ある変数の標準偏差が 12 のとき、大きさ 36 の独立した標本の平均の標準誤差は 2 となる。標本サイズを 144 に増やすと 1 になり、個別観測値の標準偏差は 12 のまま変化しない。

P(+|D)をP(D|+)に逆転させない。事後分布の分母に偽陽性を含める。個別観測の標準偏差とその平均の標準誤差は、標本数の依存性が異なる。

あるモデルにおいて、10%のデバイスに欠陥があります。テストは、欠陥のあるデバイスの80%と、欠陥のないデバイスの5%で陽性となります。1000台のデバイスを想定して、陽性結果が得られた場合に欠陥がある確率を求めよ。

解例

欠陥ありの期待数は100台、欠陥なしの期待数は900台である。陽性数の内訳はそれぞれ$100(0.8)=80$台および$900(0.05)=45$台となる。条件付きグループには125台の陽性があり、したがって

陰性数の20および855は行合計を確認できる。感度0.8は$P(+\mid D)$であり、求める逆条件ではない。これらは説明のためのモデルの値であり、測定された性能を示すものではない。

Independent observations have variance 25. Find the standard error of their mean for n=100. If instead every distinct pair has covariance 1, find the mean's variance. Does quadrupling n necessarily halve the standard error in that second model?

解答後の確認

独立性により$\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$となり、標準誤りは100で$5/10=0.5$となる。共分散がある場合、

At 100 it is 1.24. The standard error tends to one as n grows, rather than to zero; quadrupling n need not halve it. Covariance terms may be dropped only under justified uncorrelatedness, with independence a sufficient condition.