C.2 · Multivariable calculus and vector analysis

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：単変数微分、内積および反復積分。

• 偏微分、勾配および方向微分の計算
• 重積分および座標変換の利用
• 微分条件を用いて平面と曲面を区別する

勾配：偏微分のベクトル。

ヤコビアン：座標変換における局所的な面積または体積の倍率。

A partial derivative changes one coordinate while fixing the others. For f=x²+3xy, f_x=2x+3y and f_y=3x. The gradient collects these derivatives; if f is differentiable, the directional derivative along a unit vector v is grad f·v. Normalise the direction before taking this dot product. A direction vector of length two would double the answer if used without normalisation.

微分可能性とは、単なるある点での偏微分の存在ではなく、有効な線形近似を意味する。近傍における連続的な一階偏微分は十分条件である。合成関数 f(x(t),y(t)) に対して、合成関数の微分則により f_x x′+f_y y′ が得られる。二階微分は直接項および混合項の双方を生じ得る；混合偏微分がゼロであっても純粋な二階偏微分に制限は置けない。

多重積分は、指定された領域にわたって寄与を合計します。反復積分の限界を選択する前に領域を記述してください；非長方形の境界条件は順序が変わると変化することがあります。極座標では、面積要素は単なる dr dtheta ではなく r dr dtheta です。一般的な座標変換では、絶対値取ったヤコビアン行列式を使用します。符号は向き付きベクトル量に属しますが、面積や体積の拡大率には負でない定数係数を用います。

R²上で定義された関数の両方の第一偏導関数が一定の場合、f_x=a および f_y=b であり、順次積分すると f=ax+by+c（平面）となる。平行な直線状の等高線だけではこれを推論できない：e^x は垂直な平行な等高線を持つが、曲面を描く。また f_xy=f_yx=0 が平面を強制するわけではない：x²+y² は反例となる。第一微分の一定性と混合依存性の欠如、および選択された等高線の形状を区別せよ。

f(x,y) = x² + 3y² について、勾配 f = (2x, 6y)。点 (1,1) における値は (2,6) である。方向 (3,4) における単位ベクトルは (3/5,4/5) であり、これにより方向導関数は 2·3/5 + 6·4/5 = 6 となる。

単位方向ベクトルでない場合、得られるのはスケールされた方向勾配であり、距離あたりの導関数ではありません。

$f(x,y)=x^2+xy+2y^2$ について、点 $(1,-1)$ における方向 $(3,4)$ への方向微分を求めよ。単位円板 $D$ に対して ⟨$\iint_D(x^2+y^2)\,dA$⟩ を評価せよ。

解例

この多項式は微分可能である。方向を正規化せよ：$u=(3/5,4/5)$。勾配は $(2x+y,x+4y)$ であるため、その点における値は $(1,-3)$ となる。

原点以外で $g(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$ を定義し、$g(0,0)=0$ を定義せよ。原点における両方の偏導関数はゼロである。$g$ はここで微分可能か？ 連続か？

解答後の確認

各軸 $g=0$ に沿って、両方の偏導関数はゼロである。连续性は ⟨$|xy|\le(x^2+y^2)/2$⟩ から導かれ、$|g(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}/2\to0$ が得られる。 微分可能であれば、その線形微分はゼロであるはずである。軸 $x=y=t\ne0$ に沿って、