T.6 · Functions, inverse branches and composition

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：関数の定義域、二次方程式および合成。

• 指定された定義域と共像を使って単射性と全射性を区別する
• 両方向に合成することで逆関数の枝を選び、検証する
• 定義域を維持しながら関数の反復合成を追跡する

双対（バイジェクション）: 指定された集合の間で単射かつ全射である関数。

自己逆（インボリューション）: 自身との合成が定義域上で恒等写像となる関数。

関数は各許容入力に対してちょうど一つの出力を割り当てる。単射とは、等しい出力が入力を強制して等しくなることを意味し、全射とは、明示された陪集合のすべての要素に到達することを意味する。Rから[0, ∞)への写像 x↦x² は全射だが単射ではない。[0, ∞)から[0, ∞)へは両方の性質を持つため、双対である。[0, ∞)からRへは単射ではあるが、全射性を欠く。各主張を検証する際は、定義域、値域、陪集合を別々に保つこと。

逆関数は双射を逆転させる。y=f(x) を x について解き、元の定義域を用いて枝を選択する。f(x)=(x−2)²−5 （x≥2）の場合、逆関数は y≥−5 において 2+√(y+5) である。負の枝は選択した定義域の外側の入力を返してしまう。許容される x について f⁻¹(f(x))=x、許容される y について f(f⁻¹(y))=y を確認する。確認しない合成运算は定義域エラーを隠す可能性がある。

逆のグラフは元のグラフを y=x に関して反射したものであり、出力値の逆数を取るものではない。自己逆関数、あるいはインボリューションは、合成が定義される限り f(f(x))=x を満たす。R上の −x および zero を除く R 上の 1/x はどちらもインボリューションである。区間における厳密増加なインボリューションは恒等写像でなければならない。もし f(x)>x なら、増大性より f(f(x))>f(x)>x となり、同様の議論により f(x)<x も除外される。

反復 fⁿ は冪 (f(x))ⁿ ではなく、反復合成を意味する。周期を探す前に、最初の数回の合成計算を行い、その定義域を確認する。f(x)=1/(1−x) （R からの 0 と 1 を除く）の場合、f²(x)=(x−1)/x、f³(x)=x となる。像は常に同じ許容される定義域に含まれる。したがって、反復回数を三で割った余りに帰着できる。約分後に x に等しい表示された式は、禁止された入力を復元するものではない。

f(x)=(x−2)²−5 (x≥2) において、f(5)=4 であり、f⁻¹(4)=2+√9=5 です。制限のない二次式であれば入力が二つあり、−1 と 5 で、出力は 4 となります。g(x)=1/(1−x) について、軌跡 3→−1/2→2/3→3 は周期三であるため、g⁸(3)=2/3 となります。ここで考えるのは合成の回数であり、八乗ではありません。

共集合を変えると全射性が変わります。y=x に関する反射は逆関数のグラフですが、y の値の逆数を取る操作とは異なります。除外された入力を消去しないでください。

$f(x)=(x-1)^2+2$ を $x\ge1$ に制限せよ。その値域と逆、および定義域を含むことを明記せよ。両方の逆合成を確認せよ。

解例

値域は $[2,\infty)$ である。$y=(x-1)^2+2$ を $x\ge1$ で解くと $x=1+\sqrt{y-2}$ が選ばれる。したがって $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ はその式を持つ。許容されるxに対して、$x-1\ge0$ より $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ である。許容されるyに対して、$(\sqrt{y-2})^2+2=y$ である。負の平方根の分枝は別の制限に属しており、この定義域上の第2の逆ではない。

$h(x)=1/(1-x)$ とする。$h\circ h\circ h$ の定義域とその式を決定せよ。省略された点への拡張により元の合成を変化させずに、簡略化された式を拡張してもよいか？

解答後の確認

第一段階には $x\ne1$ が必要である。第二段階には $h(x)\ne1$ が必要であり、これは x=0 を除外する。$x\ne0,1$ に対して、$h^2(x)=(x-1)/x$ である。これは決して1に等しくないため、第三段階は除外を追加しない。したがって、$\mathbb R\setminus\{0,1\}$ 上での ⟨$h^3(x)=x$⟩ となる。恒等の式はより広い範囲で定義されているが、0 や 1 を追加することは、元の合成に対する拡張ではなく、新しい定義である。約分前には各中間入力が許可されていなければならない。