C.7 · Coordinate changes and vector integral theorems

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：重積分、偏微分および向き付けられた境界。

• Jacobianを用いて二重積分および三重積分を変換する
• Greenの定理、Stokesの定理、発散の定理を正しい向き付けで適用する
• 経路非依存性を主張する前に領域の特異点を確認する

発散（divergence）：ベクトル場の成分ごとの偏微分の和であり、局所的な外向き流れを測る量である。

保存的場（conservative field）：スカラーポテンシャルの勾配に等しく、線積分が経路に依存しないベクトル場である。

変数変換により面積または体積は絶対値Jacobian行列式の倍にスケールされる。極座標では r dr dθ、円柱座標では r dr dθ dz、正のz軸からの角度φを用いる球座標では ρ² sin(φ) dρ dφ dθとなる。角度の慣例と、被積分関数および領域の変換を明記せよ。Jacobianを忘れると、一様な密度の積分が誤った物理的量になってしまう。

Greenの定理は、正の向き付けされた平面境界の回線積分 P dx+Q dy と、領域における Q_x−P_y の二重積分を等価とする。通常の仮定には、領域を含む開集合上で第一偏導関数が連続であることが必要である。穴がある場合は、自身の負の向き付けされた内側境界を持つか、欠損した領域に対する別の有効な扱いが必要である。この定理は場の特異点を越えて積分することはできない。

Stokesの定理は、曲面境界上の回線積分と、curl F dot (向き付けされた法線) の曲面積分を等価とする。右手の法則が境界の方向と法線を結びつける。発散の定理は、閉曲面を越える外向き流量と div F の体積積分を等価とする。回線、流量、カール、発散は別個の概念であり、通常の発散の定理には閉曲面が必要である。

勾配場は経路非依存の線積分を持ち、端点間のポテンシャル差によって決定される。単連結な開領域上での滑らかなカールゼロの場は保存的である。単連結でない穴のある領域においてカールゼロだけでは不十分である。F=(−y/(x²+y²), x/(x²+y²)) に対して、原点は除外され、単位円の回線積分は 2π となるが、場が定義されている場所ではカールはゼロである。

F=(x,y,z) に対して、divergence は 3 である。したがって、半径 2 の球面からの外向きの流量は、その体積の 3 倍、すなわち 3·(4π·2³/3)=32π となる。これにより曲面のパラメータ化を避けることができる。平面ベクトル場 (−y,x) については、グリーン定理より反時計回りの単位円周での循環量は、円盤上での ∫1−(−1)=2 の積分に等しいため、2π となる。向きを逆転させると循環量の符号が変わる。

ドメインに穴がある場合、curl zero だけでは不十分である。外向きフラックスと counter-clockwise 環流は異なる定理および向き規則を用いる。

拘束 $1\le x^2+y^2\le4$ の上での $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ の値を計算せよ。また、単位球面を横切る $F=(x,y,z)$ の外向流（フラックス）を求めよ。

解例

環状領域の極座標の範囲は $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$ である。Jacobianを含めて,

穴のある平面上で $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ とする。そのスカラーカールはそこでゼロである。反時計回りの単位円周上の回線積分を計算せよ。なぜGreenの定理によってこれがゼロにならないのか説明せよ。

解答後の確認

$r(t)=(\cos t,\sin t)$ を $0\le t\le2\pi$ についてパラメータ化せよ。すると $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$ となり、$G\cdot r'=1$ であり、積分値は $2\pi$ となる。 この場はディスク内の原点で未定義である。Greenの定理には領域近傍での必要な滑らかさが要求され、境界のみでの滑らかさ是不够的。穴のある領域上でカールがゼロであっても、全局的なポテンシャルを確立するものではない；閉じた非正確な場は穴の周囲を循環することがある。