C.5 · Improper integrals and geometric applications

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：原関数、極限、比較法および幾何学的積分。

• 各特異境界における極限として反則積分を定義する
• 幾何学から面積、体積および弧長公式を選択する
• 積分の収束と符号の相違を分離する

反則積分: 無限または特異境界における極限によって定義される積分。

主値: 通常の反則積分が発散する場合でも存在しうる、指定された対称的な相消を用いる極限。

無限の積分端点は有限の上限と極限に置き換えられる。区間内の特異点では、積分を分割し、両側の片側積分がそれぞれ収束することを要求する。対称的な相消はコーシー主値を定義できるが、通常の反則積分の収束を保証するものではない。1/x について零をまたぐとき、対称的なカットオフで相殺されても両側は発散する。

The integral of x^(−p) from 1 to infinity converges exactly when p>1. From zero to 1 it converges exactly when p<1. The same exponent behaves differently at the two boundaries. For positive integrands, comparison transfers convergence from a larger integrable function or divergence from a smaller nonintegrable one; keep the inequality direction correct. For an integral of a maximum or minimum, solve branch crossings and check which expression dominates each interval. For max(√(1−x²),x+1) on [−1,1], the interior crossing is zero; use the semicircle on [−1,0] and the line on [0,1]. The area is π/4+3/2, not the integral of either branch over the entire interval.

For rotation around the x-axis, disks or washers integrate π(R²−r²) dx. Cylindrical shells use 2π times radius times height and integrate in the matching variable. Select the method by the geometry and verify nonnegative radii. Area between curves integrates upper minus lower, splitting where their order changes. A signed integral is not automatically geometric area.

For a differentiable plane curve y=f(x), arc length is the integral of sqrt(1+(f′(x))²) dx. A surface formed by rotating a nonnegative f around the x-axis has area integral 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. These are different quantities from volume. If an interval is unbounded, the geometric formula still needs a convergence test.

y=1/x (x≥1) をx軸の周りに回転させる。圆盘の体積は π × ∫ ⟨1⟩/x² dx であり、V=π となる。側面積の被積分関数は 2π(1/x)√(1+1/x⁴) であり、少なくとも 2π/x 以上であるため、その反復積分は発散する。有限体積だからといって有限表面積を意味しない。この比較により、不要な原関数の探索を試みる必要がない。

主値を収束する不定積分として数えてはならず、ある幾何学的量の有限性から別のものの有限性を推論してはならない。

実 p のどの値で $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ は収束するか？ ⟨$1/x$ ⟩ の普通の実数区間 $[-1,1]$ における通常の反則積分と対称的主値を比較せよ。

解例

1 で分割する。零の近くでは収束には $p<1$ が必要であり、無限遠の近くでは $p>1$ が必要である。両方を満たす実 p はなく、p=1 における対数発散は両端に生じる。両側の片側部分は独立して収束しなければならない。 $1/x$の零点をまたぐ場合、負の部分と正の部分は別々に発散するため、通常の反復積分も発散する。対称的な cutoff でゼロに相殺されるため、主値のみが存在する。零点は通常の積分の値ではない。

曲線 $y=1/x$、$x\ge1$ と x 軸で囲まれた領域を x 軸の周りに回転させる。その体積が有限であり、側面積が無限大であることを示せ。

解答後の確認

円盤により $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$ が得られる。側面積については、$y'=-1/x^2$ および