C.4 · Taylor expansions and power-series endpoints

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：微分、幾何級数および収束判定法。

• テイラー多項式を構成し、近似誤差を制御する
• 収束半径を決定し、端点を別々に検証する
• 収束区間内でべき級数の項ごとの微分と積分を行う

収束半径: 級数の中心から内側にある、べき級数が絶対収束する距離。

剰余: 関数とその有限近似との差。

a における m 次のテイラー多項式は、k がゼロから m までの f^(k)(a)(x−a)^k/k! の和である。階乗は各係数に含まれる。a と x の間で次の導関数の絶対値が M で上boundされれば、ラグランジュの剰余の絶対値は最大で M|x−a|^(m+1)/(m+1)! である。滑らかさだけでは無限テイラー級数が everywhere で関数と一致することを保証しない。

べき級数 sum c_n(x−a)^n は収束半径 R の内部で絶対収束し、外部で発散する。比試験または根試験で通常 R を決定し、その値は零と無限大があり得る。x=a−R および x=a+R においては試験が往往決着しないことがあり、それぞれの端点を元の級数に代入して確認する。2つの端点での挙動は異なることがある。

開区間の収縮区内では、項ごとの微分と積分は収束半径を保持する。ただし、端点の含与否は変わる。幾何級数 1/(1−x)=sum x^n (|x|<1) から始め、零から x まで積分して −ln(1−x)=sum x^n/n (n≥1) を得る。積分定数と自然対数の定義域を確認せよ。

Series also resolve removable limit forms. To evaluate (e^x−1−x)/x² near zero, retain the first surviving term x²/2 rather than using only e^x≈1+x. An asymptotic truncation establishes the limit; a finite-interval inequality needs a separate remainder sign or magnitude argument. Do not substitute into a series outside its convergence interval.

n≥1 のとき、級数 Σ x^n/n の比試験による収束半径は 1 である。x=1 における級数は発散する調和級数であり、x=−1 における級数は交互収束する級数である。したがって、実数の収束区間は [−1,1) となる。内部 differentiation により得られる級数 Σ x^(n−1) = 1/(1−x) は両端点において収束しない。収束半径は 1 で維持されたが、端点の含意は変化した。

半径は収束区間全体を指定するものではない。端点のテストと階乗係数は明示的に確認しなければならない。

$\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ およびその項ごとの導関数の収束区間を求めよ。$e^{0.1}$ を二次テイラー多項式で近似し、正当化された誤差範囲を示せ。

解例

The ratio test gives radius one. At 1 the original harmonic series diverges; at -1 the alternating series converges. Thus the original interval is $[-1,1)$. The derivative is $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ only for $|x|<1$; its terms do not tend to zero at either endpoint. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$。$[0,0.1]$ 上では三階導関数は $e^x<2$ である。ラグランジュの剰余項による限界は $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$ を与える。この限界は意図的に保守的であり、正確な誤差であるとは主張しない。

$\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$ を評価せよ。cosine を $1-x^2/2$ だけを置換してこの極限を決定できない理由を説明せよ。

解答後の確認

零の近くのテイラーの定理により $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$ が得られる。減算により定数項および二階項が相殺され、$x^4/24+O(x^6)$ が残る。除法後、極限は $1/24$ である。剰余項付きの切断では除法後に $o(x^2)$ となり、$x^4$ で除した後の制御を得られないため、残る最初の次数を維持して限界付けよ。