T.5 · Open sets, compactness and connectedness

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：集合、相対開集合、連続関数、および数列。

• 指定された空間における閉包、内部、境界を計算する
• 連続写像に対するコンパクト性と連結性を応用する
• 相対位相と環境となるユークリッド位相を区別する

相対位相: 部分空間と環境空間の開集合との交差によって引き継がれる開部分集合。

連結性: 不交な非空の相対開部分集合への分離が存在しないこと。

計量空間において、開集合は各点の周りに小さな球を含む。内部はこのような点の集まりであり、閉包はすべての極限点を含み、境界は閉包から内部を引いたものとなる。開集合と閉集合は排他的なラベルではなく、空集合や全体空間は両方である。実数直線Rにおいて、集合 [0,1) の内部は (0,1)、閉包は [0,1]、境界は {0,1} である。

部分空間 X において、開集合は X と環境空間の開集合との交差で表される。したがって、[0,1) は (-1,1) との交差を用いて [0,2] に対して相対的に開であるが、R では開ではない。ある集合は環境空間では閉でないにもかかわらず、相対閉である場合もある。常に、近傍を定義する空間と用いる計量を明記すること。

コンパクト性とは、任意の開被覆に有限部分被覆が含まれることを意味する。ユークリッド空間 R^n において、ヘネ–ボレルの定理によりこれは閉かつ有界と等価となる。計量空間において、コンパクト性は列コンパクト性と等価であるが、完全性だけと有界性だけでは任意の計量空間で十分ではない。コンパクト集合の連続写像はコンパクトであり、非空なコンパクト定義域上の実数連続関数について最大値・最小値の到達を保証する。

連結集合は2つの不交な非空相対開部分への分離ができない；R の連結部分集合はちょうど区間である。連結集合の連続写像は連結であり、中間値の定理を導く。経路連結性は連結性を示すが、すべての空間でその逆は成り立たない。コンパクト集合は必ずしも連結ではないし、連結集合も必ずしもコンパクトではない。有限2点集合と開区間は対照的な例として挙げられる。

X=[0,1] を通常の相対位相とする。集合 U=[0,0.5) は X と (-1,0.5) の交差に等しいため、U は X で開集合である。U の X における閉包は [0,0.5] であり、境界は {0.5} である。零は X に対して相対的な内部点である。X 上の連続関数 f について f(0)<0<f(1) が成り立つ場合、連結性によって零点の存在が保証され、コンパクト性によって独立して極値の達成が保証される。

ハイネ-ボレルの「閉かつ有界」判定は、ユークリッド空間における定理である。連結性とコンパクト性は、異なる問いに対する答えである。

$X=[0,2]$ の相対位相において、$A=[0,1)$ の内部、閉包、境界を求めよ。A は X で開集合か閉集合か？

解例

$A=X\cap(-1,1)$ は X で開なので、その相対内部は A である。閉包は $[0,1]$、境界は $\{1\}$ である。X において零は内部に含まれる（X 内の十分な小さい球には負の部分がないため）。A は X で閉ではない：序列 $1-1/n$ ($n\ge2$) は欠けている点 1 に収束する。環境の実直線においては、内部と境界はそれぞれ $(0,1)$ と $\{0,1\}$ となる。

不連結なコンパクトな実数集合と、連結だが非コンパクトな実数集合を一つずつ挙げよ。後者の上で定義された実数連続関数は必ず極値をとるか？中間値の定理がどの性質によって与えられるかを説明せよ。

解答後の確認

有限集合 $\{0,2\}$ はコンパクトだが不連結である。区間 $(0,1)$ は連結だが非コンパクトである。$(0,1)$ 上の連続恒等関数は最大値にも最小値にも達しない。連結性は実数の連続写像を区間とし、したがって中間値を与えることを保証する。コンパクト性は非空な実数の連続写像が極値に達することを保証する。どちらの性質も他を代替できない。