T.4 · Sequences, series and uniform convergence

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：数列の極限、上限（supremum）、連続性、および数級数。

• コーシー列、単調収束定理、部分列の判定条件を用いる
• 関数の点毎収束と一様収束を区別する
• 極限と積分の順序入れ替えの前に仮定を確認する

コーシー列: 十分大きい項同士が任意に近接する数列。

一様収束: 定義域のすべての点に対して有効な一つの誤差閾値の添字を選択する収束。

実数上の収束数列はコーシー列であり、実数系は完備であるため、すべての実数コーシー列は収束する。有理数系Qにおいてコーシー列は無理数に近づくことができ、Q内で収束しないことがある。有界な単調実数列は収束する。有界数列が必ずしも収束するとは限らないが、ボルツァーノ-ヴァイヤーシュトラスの定理により収束する部分列が存在することを保証する；(-1)^n は異なる2つの部分列極を持つ。

For a numerical series, absolute convergence implies convergence; conditional convergence does not allow arbitrary rearrangement without affecting the sum. The alternating harmonic series converges but its absolute-value series diverges. In a ratio test, a limit below 1 proves absolute convergence and one above 1 proves divergence; a limit equal to 1 is inconclusive, as both sum 1/n and sum 1/n² demonstrate.

点毎収束では、各xと許容誤差に対して添字Nを個別に選択する。一様収束では、定義域内のすべてのxに対して通用する一つのNを選択する。実数値関数の場合、|f_n−f| の定義域全体における上値（supremum）を確認する。連続な点毎収束の極限は、それ自体で一様収束を保証するものではない。定義域の端点や縮小する山頂は、これらの概念を区別する要因となることが多い。

連続関数の一様収束極限は連続である。閉区間において、リーマン可積分関数の一様収束は極限と積分の順序入れ替えを可能にする。微分の順序入れ替えには追加の仮定が必要であり、関数のみが一様収束しても不十分である。ワイエルストラスMテストは、各項が定義域全体でM_n で bound され、級数 sum M_n が収束する場合、関数級数の一様絶対収束を確立する。

[0,1]上で、f_n(x)=x^nはx<1のとき0へ、x=1のとき1へと収束する。極限関数は不連続であるため、一様収束はあり得ず、直接計算しても超誤差は1となり、1より下から近づく。[0,a]（0≤a<1）上では極限はゼロであり、超値はa^nとなるので、これはゼロへ収束し、一様収束となる。定義域を変えると結論も変わる。

いくつかの固定されたxの値を検証しても、上界や一様収束が証明されない。最大の誤差を生む点はnに伴って移動することがある。

固定された$0<a<1$について、$f_n(x)=x^n$の点毎および一様収束を$[0,1]$および$[0,a]$上で判定せよ。絶対収束のために$\sum1/n^2$と交互調和級数を比較せよ。

解例

$[0,1]$において、極限は$x<1$で0、1で1となる。この極限は不連続であるため、連続な$f_n$は一様収束できない。より直接的に、$[0,1)$における上値誤差は1である。$[0,a]$において上値は$a^n\to0$であるため、0への収束は一様である。p=2のp級数は絶対収束する。交互調和級数は減少して0に近づく項により収束するが、絶対値の級数は発散するため、その収束は条件付きである。

$g_n(x)=\sin(nx)/n$を$\mathbb R$上で考える。収束は一様か？その微分は極限の微分に収束するか？明示的な点を用いて判断せよ。

解答後の確認

$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$であるため、関数は0に一様収束する。しかし$g_n'(x)=\cos(nx)$であり、$x=0$においてこれらの微分はすべて1である。零の極限の微分は0である。したがって、関数のみの一様収束では極限の微分化を正当化することはできず、追加の微分収束の仮定が必要である。