A.5 · Polynomials and field extensions

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：多項式の割り算、体、およびベクトル空間の次元。

• 指定された体上での多項式の不分解性をテストする
• 不分解多項式から小さな有限体を構成する
• 拡大次数と塔の定理を使用する
• 円周根と係数の関係を用いて和と積を計算する

不分解多項式: 指定された体上でより小さい正の次数への因数分解を持たない正の次数の多項式。

拡大次数: 拡大体を基底体上のベクトル空間として見たときの次元。

多項式が field 上で不可約であるとは、正の次数を持ち、かつその中でより小さな正次数の多項式の積に分解されないことを意味する。二次または三次の多項式は、その中に根を持たない恰好に不可約である。この根テストだけでは四次以上の多項式には失敗する；例えば (x²+1)(x²+2) は実数根を持たないが、R 上では可約である。常に基底のfieldを名指しせよ。

pが既約であれば、商環F[x]/(p)は体となる。p(alpha)=0を用いて（alphaはxの剰余類）、冪を降次せよ。Fがq個の要素を持ち、pの次数がdならば、商環はd以下の次数を持つ多項式で表されるq^d個の要素を持つ。Z/4Zは4個の要素を持つが零因子を含むため、4元体ではない。

Over F2, p(x)=x²+x+1 has values 1 at both 0 and 1 and is irreducible. In its quotient alpha²=alpha+1 because subtraction equals addition in characteristic two. The four elements are 0,1,alpha,alpha+1. All three nonzero elements must be units; compute their products rather than treating alpha as an ordinary real number.

L 内に K、M 内に L が入った有限次の expansion に対して、tower law は [M:K]=[M:L][L:K] を与える。代数的な元素の次数は、その極小多項式の次数である。次数2の有限 expansion は、基底のfield に対して次数3の元素を含まない。Q 上では sqrt(2) は次数2を持つ；sqrt(3) を併用しても、sqrt(3) は Q(sqrt(2)) に含まれないため、次数4の expansion となる。C 上では、原始 n 次単根は正確な位数 n を持ち、 cyclotomic 多項式 Φ_n の根である。n=10 において、x⁵+1 を x+1 で割って、位数2の根 −1 を除外する：Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1。Vietaの公式により、その4つの原始根の和は 1、積は 1 となる。全十次根を合計したり、すべての非自明な十次根が原始であると仮定してはならない；各根の位数を確認しなければならない。単調次数 d の多項式において、その根の積は (−1)^d に定数項を掛けたものとなる。

In F2[alpha] with alpha²+alpha+1=0, multiply alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. Thus alpha^−1=alpha+1. Also alpha³=1 and alpha is not 1, so its multiplicative order is 3. This produces a field of four elements. By contrast 2·2=0 in Z/4Z, proving that quotient is not a field.

多項式の可約性は係数の体によって変化します。多項式 x²−2 は Q 上では不可約ですが、R 上では因数分解されます。

$\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$ を構成し、その要素を列挙して、余類 $\alpha=[x]$ の逆元を求める。

解例

The quadratic takes value one at both elements of $\mathbb F_2$, so it has no root and is irreducible. Its quotient is a field. Division leaves a representative of degree below two: $0,1,\alpha,1+\alpha$. The relation is $\alpha^2=\alpha+1$ in characteristic two. Consequently $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, so $\alpha^{-1}=\alpha+1$. This is not $\mathbb Z/4\mathbb Z$, which has a nonzero zero divisor.

Is $x^4+4$ irreducible over $\mathbb Q$? Does the absence of rational roots answer that question? Can a degree-two extension of $\mathbb Q$ contain a root of an irreducible cubic over $\mathbb Q$?

解答後の確認

直接乗算により $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ が得られ、実数根（したがって有理数根）を持たないにもかかわらず $\mathbb Q$ 上で可約である。「根なし」テストは、体の2次または3次の多項式についてのみ既約性を特徴づける。 If an irreducible cubic root $\beta$ belonged to a degree-two extension L, then $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ and the tower law would make 3 divide 2. This is impossible. The conclusion uses irreducibility, not merely a cubic equation.