A.4 · Rings, ideals and modules

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提知識：環、体、加的部分群および準同型。

• 単元、零因子、整域を区別する
• 理想を特定し、商環を解釈する
• 環上のモジュールと体上のベクトル空間を比較する
• 可換性を仮定せずにブール環の性質を導出する

理想: 環の任意の元による乗法を吸収する加的部分群。

ねじれ: 指定されたモジュールにおいて、非零スカラーによって消滅される元。

以下のドメイン、理想、商の例では、0 と異なり unit である可換環 ⟨1⟩ を用いる。出典の問題は一般的な環を指定することがあり、明記または証明されていない限り、乗法が可換であると仮定してはならない。unit は乗法的逆元を持つ。非零の零因子は、ある非零元との積が零になる。整域にはそのような零因子がなく、非零の因数の消去が可能である。体は、すべての非零元が unit である整域である。Z は整域だが体ではなく、Z/6Z はどちらもではない。

理想 I は、環の任意の元による乗法を吸収する加的部分群である。これは部分環であることよりも強い条件である。Z において nZ は理想であり、商の元は n による整数の剰余類である。可換環において、R/I が体となるのは I が極大であるとき、I が素であるときに限って R/I は整域となる。両方の命題において、理想は真の部分環（proper）でなければならない。

A module allows scalars from a ring instead of requiring a field. Every abelian group is a Z-module by repeated addition, but it need not have a vector-space basis. In Z/6Z as a Z-module, 6 times the nonzero residue 1 is zero; this is torsion. For a vector space over a field, a nonzero scalar is invertible and cannot annihilate a nonzero vector.

A submodule is closed under addition and all permitted scalar actions. A linear map of modules preserves both. The kernel and image are submodules, and the quotient by the kernel is isomorphic to the image. Do not apply finite-dimensional rank-nullity to an arbitrary module without establishing an appropriate free-module setting; integer row operations and field row operations permit different divisions. In a general Boolean ring, every a satisfies a²=a. Do not assume commutativity to prove it: idempotence of a+a gives 4a=2a, hence 2a=0. Expanding (a+b)²=a+b gives ab+ba=0, and characteristic two makes −ba=ba; therefore ab=ba. Idempotence does not imply nilpotence: in F2, the nonzero element 1 satisfies 1^n=1 for every positive n.

Z/6Zにおいて、2·3=0なので、2と3は零因子である。単位数は1と5である。なぜならそれらの6との最大公約数は1だからである。Zにおいて、理想5Zは体Z/5Zを与え、6Zは零因子を含む商を与える。Z-モジュールとして、ZからZ/6Zへの写像の核は6Zであり、商は6の倍数で異なる整数を同一視するものであり、実ベクトル空間を生むものではない。

部分集合は部分モジュールであり得るが、有理数上のベクトル空間ではない。スカラー除算は、スカラー逆元が構造に含まれている場合にのみ有効である。

$\mathbb Z/12\mathbb Z$において、単元および非ゼロの零因子を列挙せよ。理想$(4)$は素理想または極大idealか？

解例

単元は12と互いに素な剰余類であり、それは$1,5,7,11$である。残りの非ゼロ剰余類$2,3,4,6,8,9,10$は零因子である。各aに対して、$a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$ mod 12において、第2の因子は非ゼロである。理想$(4)=\{0,4,8\}$による商環は$\mathbb Z/4\mathbb Z$と同型である。これは$2\cdot2=0$であるため整域ではなく、また体でもない。したがって、この理想は素Idealでも極大Idealでもない。

$\mathbb Z$-加群として、$\mathbb Z/6\mathbb Z$は自由加群か？商環を用いて、$\mathbb Z$における$(2)$と$\mathbb Q[x]$における$(x)$を比較せよ。

解答後の確認

非ゼロの自由$\mathbb Z$-加群には、非ゼロ整数によって消滅する非ゼロベクトルが存在しない：各整数座標を確認せよ。しかし、$\mathbb Z/6\mathbb Z$における$6[1]=0$は自由ではない；体のような基底による議論は無効である。 $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$は体であるため、$(2)$は極大かつ素である。0での評価写像は$\mathbb Q[x]$から$\mathbb Q$への全射であり、その核は$(x)$である；その商環も体である。両方の議論は、単位元を持つ可換環における真のIdealを用いている。