C.1 · Single-variable calculus and applications

大学卒GRE準備。検証済みETS範囲内の地域的な目標；これは独自の教育であり、公式テストや得点予測器ではありません。

前提条件：正確な代数学、ラジアンでの三角関数、関数および不等式。

• 極限、連続性、微分可能性を用いる
• 導関数、積分、および基本定理を適用する
• リーマン和を認識し、無限級数と区別する

連続性：関数の値がその極限と一致すること。

収束：有限の極限値へ近づくこと。

極限は、関数がその点で定義されている必要なく、その点近くの値を記述する。連続性は、関数の値が存在し、極限と一致するという要件を追加する。代数的な約分は、約分されたゼロ以外の領域で有効だが、除去可能な極限を明らかにすることがある。片側極限が一致することで初めて両側極限となる。商の極限については、ルールを適用する前に分母と仮定を確認すべきです。0/0 は不定形であり、答えではありません。

導関数は差分商の極限であり、連続性を示唆しますが、逆は成立しません（|x| の x=0 での例）。積、商、合成関数の法则は異なる構造を記述します。f(g(x)) の導関数は f′(g(x))g′(x) であり、関連のない値の積ではありません。合成関数を第2階微分すると、通常2項が現れます。記号的な表現を導関数として使用する前に、定義域、非ゼロの分母、微分可能性の仮定を確認してください。

基本定理は、連続な被積分関数 f(t) の a から x までの積分の導関数は f(x) であることを示します。上限が変数 h(x) の場合、h′(x) を掛け、2つの変数境界がある場合は、対応する下限寄与を引きます。定積分はリーマン和の極限としても生じます。n に依存する項を定数として扱うのではなく、和を (1/n)Σf(k/n) と書き換えてから、[0,1] 上の積分を特定してください。

例えば、k=1からnまでのΣ n/(n²+k²) は (1/n)Σ1/(1+(k/n)²) に等しく、∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4 に収束する。この極限は連続性と区間幅 1/n を用いる。無数の項に対する級数は異なる極限であり、項が零に近づくだけでは収束を保証しない。Σ1/k の部分和は発散する；必要条件として項の零への収束を用いず、代わりに有効な級数判定法を適用・推定せよ。

F(x) = ∫_0^x² e^t dt について、基本定理と連鎖律より F′(x) = e^(x²) · 2x が得られる。x = 1 のとき、F′(1) = 2e となる。上限は x² であるため、2x を無視するとその変化率を見落としてしまう。

A-Levelの微積分は有用な前提知識であるが、ここでテストされる学部生の解析学やその応用を網羅しているわけではない。

$F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$ が与えられたとき、$F'(x)$ と $F'(2)$ を求めよ。定理が適用される理由を述べよ。

解例

被積分関数は実数直線上で連続である。両端点において基本定理と合成関数の微分則が適用可能である：

別角度から、原関数は $t+t^3/3$ である。したがって $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$ が得られ、同じ導関数を有する。

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$ を求めよ。これがリーマン和の極限である理由を説明せよ。次に $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$ が収束するか否かを判定せよ。

解答後の確認

各項を $\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$ と書き換えよ。$[0,1]$ 上の連続関数 $f(t)=t/(1+t^2)$ とメッシュ $1/n$ より、

調和級数は発散する：$2^{j-1}+1$ から $2^j$ までのブロックには $2^{j-1}$ 個以上の項が含まれ、それぞれは $1/2^j$ 以上であるため、各ブロックは少なくとも $1/2$ を加算する。項が零に近づくことは必要だが十分ではない。ここでは有限和の被積分関数が縮尺された添字に依存しており、調和級数ではない。