Q.A-number · Arithmetic: divisibility, remainders and multiplicative change

評価対象の短形タスク内での従来の教室実践。適応型テストをシミュレートしたり、スケール化された点数や作文点数を予測したりするものではない。

• 素因数分解を用いて整除性、最大公因数、最小公倍数を求める
• 余りを元の除数として解釈する
• 比率と百分率の変化を正しい参照全体と組み合わせる

最小公倍数: 与えられた各正整数によって割り切れる最小の正の整数。

余り: 正の整数で割った際に残る非負の量であり、その除数より小さい。

d で割り切れる整数は dk と表せる；余り r を持つ場合、dk+r となり、正の除数に対して 0 ≤ r < d が成り立つ。素因数分解は整除性と共通倍数を同定する。最大公因数は共有する素因数のべき乗の小さい方を採用し、最小公倍数は必要なすべての素因数のべき乗の大きい方を採用する。

奇偶性および正負性を別々に扱う。2つの奇数の積は奇数であり、偶数の積を含めれば偶数となる。整数に関する命題は実数について必ず成立するとは限らない。定量比較においては、最小の正の例が唯一の値であると仮定せず、余りの形式を利用して可能なケースを明らかにせよ。

比率 a:b は、グループが全体を尽くすとき、a+b 等分の部分に全体を割り当てる。百分率の変化は、r を小数で表したとき、元の値に 1 + r または 1 − r を乗じる。連続した変化は因子を掛け合わせる。部分の割合計算では、各段階で参照グループが変わるため、掛け合わせる前に分母にラベルを付けよ。

解いた後に桁数の推定と整数の制約を確認する。分数、累乗根、負の指数は通常の定義域の制限に従い、偶数の累乗根は非負の主値を表す。和の中に項がある場合、それを因数のように消去しない。正確な計算は、小数電卓入力の速さや安全性を上回ることがある。

既知：$18=2\cdot3^2$ と $24=2^3\cdot3$ 。共通するより小さい累乗から最大公約数(GCF)は6；必要なより大きい累乗から最小公倍数(LCM)は72。$n=5k+2$ の場合、$2n=5(2k)+4$ となるため、5で割った余りは4です。

モデル価格が 100 CNY で低下し、次に 20% 上昇する場合、2つの変化を掛け合わせます：

250 を比 2:3 で割ると 100 と 150 になります：5部分それぞれが50です。

等しい百分率の増減でも計算ベースが異なります。余りは、指定された除数に対して報告する必要があります。

36 と 60 の最大公約数および最小公倍数を求めよ。ある価格が 25% 上昇した後、20% 下降した。全体としての百分率変化を求めよ。

モデル解答と推理

$36=2^2\cdot3^2$, $60=2^2\cdot3\cdot5$ 。共通するより小さい累乗から GCF=12 ；必要なより大きい累乗から LCM=180 。その積 $12\cdot180=36\cdot60$ で結果を検証できます。価格乗算器は $1.25\cdot0.80=1$ なので、全体の変化はゼロパーセントです。2つの変化は異なる参照価格を使用しています；+25 と -20 を足すと、誤った5パーセント増加になります。

整数 n を 8 で割ったときの剰余が 5 である。$3n+7$ を 8 で割ったときの剰余を求めよ（n が負の場合を含む）。ある値が一年で 10% 上昇し、次の年には 20% 上昇する。元の値に戻すための単一の百分率減少はいくらか？

解答後の確認

$n=8k+5$を整数kとして表す。すると$3n+7=24k+22=8(3k+2)+6$となり、すべての整数kに対して余りは六となる。最終値は元の値の1.32倍である。元に戻すと$1/1.32=25/33$倍され、$1-25/33=8/33$の減少、つまり約24.24%の減少となる。30%の減少では複利成長が逆転しない。余りの慣例はnが負であっても$0\le r<8$を用いる。