3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 テーマ 3 (規定版 Issue 2、11月 2017)。Foundation行 3.1 と 3.3 は Higher と共有されている；関数表記ブロック 3.2 と微積分ブロック 3.4 は Higher専用であり、 Higher 3.3 は三次関数、逆比例関数、三角関数曲線、変換、および 交点におけるグラフの扱いを拡張する。6月 2024 Higher 試験において、このストランドは6つのテーマの中で最も出題頻度が高く (about a third of each paper) and carries the A/A* discriminators: algebraic series sums, 合成関数、垂直な直線、直線と曲線の交点、定常点。

テーマ 3 で必須 （Higher 式典表では級数則と台形則のみが記載されている）：

項から項への規則は、次の項を求める方法を示します（加4：5, 9, 13, 17, …； 乗2：1, 2, 4, 8, …）；位置から項への規則は、項をその位置から直接与えます。 その位置から。初項が $a$ で 公差 が $d$ である 等差数列 において、第 $n$ 項は $u_n = a + (n-1)d$ です：1, 3, 5, 7, … に対して、法則は $2n - 1$ であり、「第 n 項は $4n + 3$」が 7, 11, 15, … を生成します。提案された法則を信頼する前に、 信頼する前に位置を確認すること。

Higher では 等差数列の和 も追加される。初項と末項をペアにし、2番目と $n/2$ 個の同等のペア和 $a + u_n$ が得られます：

$4+7+10+13+\cdots$ について: $a=4$, $d=3$, よって $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ が2つの項から得られる場合、項の法則を連立方程式として用いる: $u_2 = 7$ と $u_5 = 19$ ならば、$3d = 12$ なので、$d = 4$ と $a = 7 - 4 = 3$ 。

** worked example (1HR June 2024 Q23、改変版)。** 等差級数の3つの連続した項は $4x-14$, $x+2$ および $7x-9$ です。連続した項には公差があるため、 $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$ となり、$-3x + 16 = 6x - 11$ となり、したがって $x = 3$ です。項は $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$。次に $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 \times 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ 最終的な代入まで記号的に — 代数学が 計算ではなく、点数を獲得します。

ある 関数 は、ある集合の入力それぞれを別の集合の出力に唯一対応させます：以下のように書きます $f(x) = \ldots$ または $f{:}\ x \mapsto \ldots$。定義域とは、許容される値の集合である 入力; 値域 は出力の集合である。規則に反する入力を除外する: 以下の場合 $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ を $x = 2$ で除外し、$f(x) = \sqrt{x}$ に対しては $x \ge 0$ を適用する。

合成関数 $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ は $g$ を先に適用し、次に $f$ を適用する — $g$ の出力が $f$ の有効な入力となる必要がある。逆関数 $f^{-1}$ は $f$ を逆転させ、$f$ が単一対応である場合にのみ存在する：$f(x) = \sqrt{x-2}$ の場合 (定義域 $x \ge 2$, 値域 $f \ge 0$)、$y = \sqrt{x-2}$ を書き換えて二乗すると $x = y^2 + 2$ となり、したがって定義域 $x \ge 0$ において $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ となる。常に $f^{-1}(f(x)) = x$ を確認すること。

** worked example (2HR 6月 2024 Q17, 改変版) 。** $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ および $g(x) = 3x+1$; $\mathrm{fg}(k) = 2$ が与えられたとき $k$ を求める。まず $g(k) = 3k+1$ を行い、次に

$3k+1 = 12k-4$ となるので、$9k = 5$ と $k = \tfrac59$ が得られる。（知っておくと便利な短縮法: 解く $f(x) = 2$ で $x = 8/3$ を得るので、$g(k) = 8/3$ を設定する — 代数計算を減らして同じ答えを得る。）

デカルト座標系では4つの象限内の点を指定でき、中点 は 端点の座標の平均をとる: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$。傾き は直線の $y$ の変化量を $x$ の変化量で割ったもの: $(1,7)$ を通り $(2,9)$ における傾きは $2$ である。直線 $y = mx+c$ は傾き $m$ を持ち、$y$ 軸と交わる点は $(0,c)$ — $y = 3x+5$ の場合、傾き 3 と切片 $(0,5)$。特殊なケース：$x = k$ は 垂直（有限の傾きを持たない）、$y = c$ は水平（傾き 0）である。変換グラフ (通貨、温度)は同じように読み取られる。

実際のグラフの解釈はこのブロックの一部である：距離–時間グラフにおいて傾きは 速度；速度–時間グラフにおける傾きは加速度であり、グラフ下の面積は 移動距離。プロット練習では、直線の値表を埋めることが含まれる (形式 $ax + by = c$ を含む) および放物線、プロットした点を通る滑らかな曲線を描くこと 平行線は同じ傾きを持つ。垂直線は傾きの

平行線は同じ傾きを持つ。垂直線は傾きの積が $-1$ となる：$m$ に垂直なのは $-1/m$ である。$(x_1, y_1)$ を通る直線で、 傾きが $m$ のものは $y - y_1 = m(x - x_1)$ である。

** worked example (2HR June 2024 Q21、改変版)。** $ABCD$ は正方形で、$A(-5, 2)$ と $B(3, 5)$ がある。$BC$ の方程式を $ax + by + c = 0$ の形で見よ。隣接する正方形の辺は 垂直である。$AB$ の傾きは $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$ なので、 $BC$ の傾きは $-\tfrac83$ である。$B(3,5)$ を通る：$y - 5 = -\tfrac83(x-3)$、したがって $3y - 15 = -8x + 24$、 $8x + 3y - 39 = 0$ が得られる。最後に展開して、$a$、$b$、$c$ が整数になるようにし、要求通りとする

Higher 3.3 は、放物線以外の3つの曲線族の認識とプロットを求める： 三次関数 $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (任意の符号；$y = x^3 - 4x$ は上昇→下降→上昇)、逆数関数 $y = A/x$、$y = A/x^2$、$y = A/x^3$ (2つの枝、漸近線、軸との交点なし) および 任意の大きさの角度に対する三角関数のグラフ $y = \sin x$、$y = \cos x$、$y = \tan x$ 度 — sin および cos は周期 360° で $-1$ と $1$ の間で振動し、tan は繰り返される 180°ごとに $90° + 180°n$ で折れ曲がる。原点を中心とする円には $x^2 + y^2 = r^2$ — この曲線は、交点における2番目の曲線としてこのコースに導入される 疑問文。

$y = f(x)$ の 変換 が4つ必要であり、線形関数、二次関数、正弦関数および 余弦関数についてである：

内部の形は $x$ に対して「逆方向」に作用し、$x$ のみで成立する。$f(x) = x^2$ について：$y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ halves the $x$ の値を半分にし、放物線を高くするのではなく細くする。 $y = \sin 2x$ については周期が 180° に半減する。グラフから描かれた変換を読み取る（頂点はどこへ移動したか？） 代数式で表す — 両方の方向が評価対象となる。

曲線の傾き: 点において接線を引き、その傾きを rise/run（上昇量／進行量）として求める — 測るのは曲線ではなく直線である。正確な曲線の傾きは微分 （次節）が必要である。

交点: 線形 $y_1$ と非線形 $y_2$ が交差する $x$ の値は $y_2 - y_1 = 0$ の解である。$y = 2x+1$ と $y = x^2 + 3x - 2$ の交点は解く $x^2 + x - 3 = 0$； $y = 5$と$y = x^3 - 3x^2 + 7$の解は $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$である。

** worked example (2HR June 2024 Q22、改変版)。** 直線 $y = 3x - 1$ が 曲線 $x^2 + y^2 = y + 11$ に接する位置を求める。直線を曲線に代入する：

よって $x = -\tfrac35$ または $x = \tfrac32$ であり、$y = 3x-1$ は $y = -\tfrac{14}{5}$ または その点は $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ と $y = \tfrac72$ である。 $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ である — 確認のために他の方程式に代入せよ: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

曲線の勾配は沿って変化し、変化する比率である。 微分によって正確に求められる： $x$ の整数乗に対して、

$y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ について: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$ 。静止点 最大値と最小値をグラフの形状で区別する：正の $\dfrac{dy}{dx} = 0$ 係数を持つ立方関数は上昇→下降→上昇...し、ここでは $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$ が $x = -\tfrac23$ のとき、 $x = 6$。グラフの形状から maximum と minimum を区別する：三次関数は 正の $x^3$ 係数を持つ場合、上昇→下降→上昇…となる。ここでは $y \to -\infty$ が $x \to -\infty$ のとき、 so the left stationary point $x = -\tfrac23$ is the maximum ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

** worked example (1HR June 2024 Q19、改変版)。** $C$ の方程式は $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ and exactly two stationary points $A$ and $B$ with $x_A > x_B$; find $A$. Differentiate and ゼロとおく：$(3x+2)(x-6) = 0$、大きい解は $x = 6$。これを代入すると 曲線: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$、したがって $A = (6, -139)$。記号は順に付与される— 微分（少なくとも2項が正しい場合）、0とおいて解き、二次方程式を解き、元の式に戻して代入する。

運動学: 変位 $s$ m が $t$ 秒後に得られるとき、速度は変位の 変化率であり、加速度は速度の変化率である: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$。これに対して $s = t^3 - 24t$ (m, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ m/s および $a = 6t$ m/s²。 質点は $v = 0$ において瞬間的に静止している: $t = \sqrt{8} = 2.83$ s (3 桁)。

• 項から項への規則および位置から項への規則に基づいて数列を生成し、整数数列の規則を求める (F 3.1 A–B)。
• 等差数列に $u_n = a + (n-1)d$ を用い、任意の2項から $a$ と $d$ を求める (F 3.1 C, H 3.1 A–B)。
• $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ を用いた等差級数の和を求め、代数的項を含むものも扱う (H 3.1 C; 6月 2024 1HR Q23)。
• $f(x)$ および $f{:}\,x\mapsto$ の記法を用い、定義域（除外値を含む）および値域を示す (H 3.2 A–C)。
• $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ をまず構成し、1対1の定義域上で $f^{-1}$ を求める (H 3.2 D; 6月 2024 2HR Q17)。
• 全象限におけるグラフを読み取り、プロットし、解釈する：中点、換算グラフ、距離／速度－時間グラフ、値表 (F 3.3 A–I)。
• 2点から勾配を求め、$y = mx + c$、一点を通る平行線および直交線の方程式を求める (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G; 6月 2024 2HR Q21)。
• 三次関数、逆数曲線、$\sin/\cos/\tan$、原点 centered の円 $x^2+y^2=r^2$ を識別し、概略図を描く (H 3.3 A)。
• 4つの変換 $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ を適用し、読み取る (H 3.3 B–C)。
• 接線を引いて曲線の勾配を推定する (H 3.3 D)。
• $y_2 - y_1 = 0$ を用いて一次・非一次の交点を解き、代入によって検証する (H 3.3 E; 6月 2024 2HR Q22)。
• 整数乗の微分；定常点の特定；グラフの形状から極大・極小の分類（H 3.4 A–D; June 2024 1HR Q19）。
• 運動への微分の応用：$v = ds/dt$、$a = dv/dt$、および「静止中」は $v = 0$ を意味する（H 3.4 E）。

境界上の注記：幾何級数と無限和は、このレベルでは除外される（no 幾何列が 4MA1 3.1 に含まれない）；微分は $x$ の整数乗に限定され、合成関数の法則、 積の法則と商の法則は除外される；ラジアン法は除外される（全体を通じて度法を使用）。 ファウンデーション受験者は 3.1 と 3.3 のみに対応する。上記の worked examples は 確認済みのJune 2024 Higher pair（メタの評価証拠を参照）より改変されたものである；他のすべての問題は シート上に記載されているものはすべてオリジナルである。