1 · Numbers and the number system

4MA1 トピック 1 （仕様課題 2、11月 2017）は資格認定における 核となる分野である：基礎レベル行 1.1–1.11 は整数と四つの法則から 分数、小数、指数、集合、百分率、比、範囲、標準形に至るまで、 日常生活中の数値処理を含みます; 上級レベルでは循環小数変換、累乗根、代数的集合、 増減率の繰り返し変化、範囲問題が追加されます。6月の 2024試験においてこの分野は、 逆百分率計算 (2HR Q8)、標準形 (2HR Q9)、循環小数 証明（2HR Q18）、上限乗算（2HR Q19）、根号の有理化 (1HR Q17ファミリー) と素因数分解とベン図領域 (1HR Q11ファミリー) を提供しました。

** トピック 1 で必須**:

整数には正の整数、負の整数、ゼロが含まれ、位値は各桁の意義を表します。 方向を持つ数値は実用的な文脈（温度、債務、海面高度）に現れます; 順序付け によって数直線上に配置されます。負の数を伴う四則运算: 同符号の場合は足し算、異符号の場合 signs subtract, two negatives make a positive. Brackets, then indices, then divide/multiply, then add/subtract (BIDMAS): $3 + 4 \times 2^2 = 3 + 16 = 19$, while $(3 + 4) \times 2 = 14$. Odd, even, prime numbers (exactly two factors), factors and multiples classify whole numbers; common factors and common multiples lead to the HCF and LCM.

Equivalent fractions cancel or extend: $\tfrac{8}{12} = \tfrac23$. Mixed numbers and vulgar fractions convert by division with remainder. A common denominator lets fractions be ordered, compared, added and subtracted: $\tfrac13 + \tfrac14 = \tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{7}{12}$. A fraction OF a quantity multiplies: $\tfrac34$ of 48 is 36; expressing one number as a fraction of another divides ($7$ as a fraction of $28$ is $\tfrac14$). Multiplying fractions multiplies numerators and denominators; dividing multiplies by the reciprocal — unit fractions as multiplicative inverses ($\tfrac13$ undoes $3$). Fractions convert to decimals (divide) and percentages (multiply by 100).

Recurring decimals (Higher) convert by algebra: let $x = 0.306306\ldots$; then $1000x = 306.306\ldots$; subtracting, $999x = 306$, so $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$ (June 2024 2HR Q18). A terminating decimal is a fraction with denominator a power of ten.

小数点以下の位は、十分の位、百分の位、千分位であり、順序付けは最も高い値を持つ桁から比較する。 最も高い桁の数字から始める。平方数 ($1, 4, 9, \ldots$)、 立方 数 ($1, 8, 27, \ldots$)、それらのルート、および正の整数乗の the multiplication and division laws for positive integer powers: $2^3 \times 2^4 = 2^7$ and $2^7 \div 2^3 = 2^4$. Every integer factors into primes: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$；6月 2024 1HR Q11 家族因数は大きな数を素因数分解し、 ベン図から領域の積を読む（$19600 = 2^4 \times 5^2 \times 7^2$）。この 最大公約数 は共通する素数の最低乗を取り、 最小公倍数 はすべての素数の最高乗を取る： $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ と $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, HCF $= 2^2 \cdot 3 = 12$ and LCM $= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$。

根号 とは、$\sqrt2$ のような正確な無理根のことである。平方を 外して簡略化する： $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ 、 $\sqrt{ab} = \sqrt a\, \sqrt b$. Adding needs like surds: $3\sqrt2 + 5\sqrt2 = 8\sqrt2$, but $\sqrt2 + \sqrt3$ はこれ以上整理できない。

分母の有理化は、分子と分母に共役な式を掛けて根号を取り除くことである。 二乗の差の公式で正確に消去できる。 worked example: $\dfrac{5}{3 - \sqrt2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{(3 - \sqrt2)(3 + \sqrt2)} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{9 - 2} = \dfrac{5(3 + \sqrt2)}{7}$; and $\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$. June 2024 1HR Q17 family 分母の有理化 $2 - \sqrt3$から答えであるファミリー$\tfrac{7(2 + \sqrt3)}{4}$へ構築される — なぜなら $(2 - \sqrt3)(2 + \sqrt3) = 1$、すなわち$(2 + \sqrt3)$乗数により根号が正確に解消されるためである。

集合とは要素の集まりを指す：$A = \{2, 4, 6, 8\}$。表記法：$\cup$ (並列、どちらか一方の集合に含まれる), $\cap$ (交わり, 両方の集合に含まれる), $\in$ および $\notin$ (所属)。全集 $\mathcal{E}$ は 議論対象となるすべての要素を含み、空集合 $\emptyset$ は要素を持たず、 補集合 $A'$ は、$\mathcal{E}$ に含まれる ⟨$A$⟩ の外にあるすべての要素である。**ベン図 は領域を描く — 上級では代数集合を用い、部分集合 ($B \subset A$: $B$ のすべての元が $A$ に含まれる), 要素数 $n(A)$, および実用的用途（世論調査、素因数分解領域）。June 2024 1HR Q11 family は 2つの数の素因数を2集合のベン図に配置し、$AB$、 $A^2$ と $B^2$ を統合領域から取り出す — HCF は重なり部分の積であり、LCM は全領域の积である。

パーセントとは100 に対する割合を意味する：$35\% = 0.35 = \tfrac{7}{20}$。パーセンテージは 乗数として機能する：$12\%$ 増やすことは$\times 1.12$ を意味し、$20\%$ 減らすことは $\times 0.8$ を意味する。逆パーセント計算では最終値を乗数で割る — 6月2024 2HR Q8: $17\%$%引き後6225ルピーで販売されている冷蔵庫の元値は $\tfrac{6225}{0.83} = 7500$ルピーでした。複利と減価償却が適用されます。 は乗数として繰り返し用いる: $A = P\left(1 \pm \tfrac{r}{100}\right)^n$ — £2000 が 3% 4年間の複利により$2000 \times 1.03^4 = £2251.02$に成長します；価値が£12000の車は 年率 15% で減価計算され、3 年後に $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$ になる。

比は部分を比較するもの：通分して単純化します（$45 : 60 = 3 : 4$）；分配 は$\tfrac{\text{parts}}{\text{total}} \times \text{amount}$ — £350 を 比$2 : 5$ で分配すると$\tfrac27 \times 350 = £100$ と$\tfrac57 \times 350 = £250$ になります。 比例は量の中でまたは量の間にスケールを調整することです：単位法ではまず単一単位 を求めます（7ペンは£4.20なので、ペン1個は£0.60で、12ペンは£7.20）； 直接比例にある量は同じ方法でスケールされます（$y = kx$）。文章題では 比と分数・百分率が混在しています。単位を明確にし、答えが 妥当か確認してください。

整数を10の累乗に、小数を有効数字または小数点以下 桁数: $3.4617 \to 3.5$ (2有効数字) および $3.46$ (2小数点以下桁数)。正確な値には範囲 — 19を四捨五入して最も近い整数とした場合、$18.5 \le v < 19.5$ — 上 限界** 19.5 と 下限 18.5 。推計ではすべての数を 1 有効数字第一位で: $\tfrac{4.12 \times 29.8}{0.187} \approx \tfrac{4 \times 30}{0.2} = 600$. 範囲の問題（上級）では問題で必要とする極端な値を選びます — June 2024 2HR Q19: 距離 $=$、速度 $\times$、時間。速度が $19$ km/h で最も近い整数（つまり UB $19.5$）かつ時間が $1.5$ h で 1 小数点以下（つまり UB $1.55$）: 距離の上端値 は $19.5 \times 1.55 = 30.2$ km (3 有効数字) 。

標準形 は $a \times 10^n$ を $1 \le a < 10$ で表す: $604000 = 6.04 \times 10^5$ and $0.00007 = 7 \times 10^{-5}$ (June 2024 2HR Q9)。指数は加算される。 標準形の数の掛け算と割り算において加減され、 電卓の $\times 10^{\wedge}$ ボタンは計算結果を正確に保持する。

日常生活の数—お金、時刻表、読み取り—も同じ単位の付いた算术を用いる。 標準単位: 質量 (kg, g)、長さ (km, m, cm, mm)、面積、体積、時間 (秒から年、12-および24-時間計) およびそれらの換算 ($1\ \text{m}^2 = 10^4\ \text{cm}^2$; $1\ \text{litre} = 1000\ \text{cm}^3$). A 科学用電卓は演算順序を正しく適用するが、早期の四捨五入は 精度を失う: 計算全体を通じて完全な精度を保ち、最終的な 答えのみ asked accuracy に合わせて丸める。

• 整数、大小比較、有向数、四則演算、BIDMAS、奇数、偶数、素数、約数と倍数 (F 1.1 A–H)。
• 等価な分数、帯分数、分母の通分、数量の分数、逆数、FDP間の換算 (F 1.2 A–H)。
• 代数的に循環小数を分数に変換する (H 1.3 A; June 2024 2HR Q18)。
• 小数: 位取り記数法、大小比較、有限小数を分数にする (F 1.3 A–E)。
• 平方、立方、累乗、指数の法則、素因数分解、最大公約数と最小公倍数 (F 1.4 A–E; June 2024 1HR Q11 family)。
• 根号: 整理、同類の根号の加算、共役式による有理化（H 1.4 A–B; June 2024 1HR Q17 family）。
• 集合：表記法、全集合・空集合・補集合、ベン図；Higher 層の集合、n(A)、代数的および実用的な集合（F 1.5 A–E, H 1.5 A–D）
• パーセンテージ：乗数、パーセント計算、増減、逆計算、複利と減価償却（F 1.6 A–G, H 1.6 A–B; 6月 2024 2 HR Q8）
• 比：最简形、分配、比例、語問題（F 1.7 A–E）
• 10の累乗、有効数字(s.f.)、小数点以下(d.p.)への丸め; 上限・下限の特定と適切な極値を選ぶ問題; 1桁の有効数字による推定 (F 1.8 A–D, H 1.8 A; June 2024 2HR Q19)。
• 標準形式の変換と計算（F 1.9 A, H 1.9 A; 6月 2024 2 HR Q9）
• 日常の数、標準単位および変換、時間計算、電卓の正しい使い分け（F 1.10 A–C, F 1.11 A）

境界注釈: 分数指数、負の指数、ゼロ指数は乗法および 除法の法則を超えてトピック 2 に属します; 比例グラフはトピック 2 と 4 に属します; 複合 単位(速度、密度、圧力) はトピック 4 に属します。基礎コース受験者は 基礎コースの行のみを適用します。 worked examples（解説例）は承認されたJune 2024試験問題から改変されたものまたはオリジナルです。 シート上の問題はラベルがない限りオリジナルです。