FP2 · Further Pure Mathematics 2

Further Pure Mathematics 2 (FP2, paper WFM02/01, 1時間30分、75点、初回試験 June 2020) はP1–P4およびFP1を直接基盤とし、International Advancedの六分の之一的を占める レベル。全単元が同等の重みを持つため、FP2の教材は「Further」内でも登場する可能性がある 数学。P1–P4で前提とされる内容は有効：部分分数、パラメータ曲線と暗黙関数の 微分、積分法による部分積分と置換、そして全 FP1複素数と 証明のツールキット。このリファレンスでは絶対値不等式、差分法、オイラーの 関係式とド・モワブルの定理、軌跡と z→w 変換、一次および二次 微分方程式、マクローリン級数とテイラー級数、極座標を網羅している。

FP2で必須（前提として扱われ、再指導されない）：

安全な2つの操作と禁止された1つの操作。安全：絶対値の定義から場合分けを行う ($\lvert f\rvert = f$ where $f \ge 0$, $-f$ where $f < 0$)、両辺を $\lvert A\rvert > \lvert B\rvert$の二乗して $A^2 > B^2$を得る。禁止：符号が確定していない 式で掛けたり割ったりすること—その符号について場合分けを行い、各 場合をそれぞれの定義域と交差させること。

** worked example — 片方の枝が枯れる（サンプル形式）。** $\lvert x^2-1\rvert > 2(x+1)$ を解く。 $x^2 \ge 1$ の場合: $x^2 - 2x - 3 > 0$ なので、$(x-3)(x+1) > 0$ となり、$x > 3$ または $x < -1$ を与え、 $x \le -1$ または $x \ge 1$ の葉が $x < -1$ または $x > 3$ にのみ至る。$x^2 < 1$ において: $1 - x^2 > 2x + 2$ $(x+1)^2 < 0$ となる — 不可能である。解は $x < -1$ または $x > 3$ である。死枝とは 結果であり、誤りではない: 報告すること。

** worked example — 両辺の絶対値 (WFM02 June 2025 Q8)。** 曲線 C の方程式は $y = \dfrac{15x}{\lvert x\rvert + 4}$ であり、直線 l の方程式は $y = x - 2$ である。

(a) $x - 2 > \dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}$ を解け。分母は常に正であるため、そのまま 掛け算を行う。$x \ge 0$ について: $(x-2)(x+4) > 15x$ は $x^2 - 13x - 8 > 0$ を与えるので、 $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ (もう一つの根は負である)。$x < 0$ について: $(x-2)(4-x) > 15x$ は $-x^2 - 9x - 8 > 0$ すなわち $(x+1)(x+8) < 0$ を与えるので、$-8 < x < -1$ となる。合わせると: $-8 < x < -1$または$x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$。

(b) $\lvert x-2\rvert > \left\lvert\dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}\right\rvert$ を解け。両辺は 非負なので、二乗して$(\lvert x\rvert+4)^2$を掛けてある。不等式は$PQ > 0$となり、 $P = (x-2)(\lvert x\rvert+4) - 15x$（(a)部分の式）および $Q = (x-2)(\lvert x\rvert+4) + 15x$ である。したがって $P$ と $Q$ は 同じ符号 でなければならない。それだけでは不十分 "$P > 0$ または $Q < 0$" を持つことである。$x \ge 0$ に対して: $P = x^2 - 13x - 8$ と $Q = x^2 + 17x - 8$。どちらも $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ に対して正であり、$0 \le x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$ に対して負である。 $x < 0$ に対して: $Q = -x^2 + 21x - 8$ はあらゆる $x < 0$ に対して負であるため、$P < 0$ が必要であり、それは $(x+1)(x+8) > 0$ : $x < -8$ または $-1 < x < 0$ 。これらを合わせると: $x < -8$ または $-1 < x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$ または $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ 。（確認 $x = -5$ : $\lvert x-2\rvert = 7$ だが $\left\lvert\tfrac{-75}{9}\right\rvert = 8.3$ でないため、$-5$ は適切に 除外されている。）「したがって」は本質的である。(a) の因子 $P$ が半分の役割を果たしているからである。

差分法 は、項を分割 (通常は 部分分数分解) して各項が後続の項の一部と相殺されることで級数の和を求める手法である — 中央の 崩壊し、最初の断片と最後の断片のみが残る。$r = 1$, $r = 2$, $r = n-1$, $r = n$ を具体的に書き出し、何が消滅するかを確認する；この表示は得点に値する。

worked example — 閉形式へのテレスコーピング (WFM02 June 2025 Q5)。 $\displaystyle\sum_{r=1}^n \frac{1}{(r+1)(r+2)} = \frac{n}{2(n+2)}$ を示せ。分解：

The sum is $\left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots + \left(\tfrac1{n+1} - \tfrac1{n+2}\right)$: everything from $\tfrac13$ to $\tfrac1{n+1}$ で相殺される。 $\tfrac12 - \tfrac1{n+2} = \tfrac{n}{2(n+2)}$ が残る。（$n = 1$ で確認：両辺が$\tfrac16$。） これは不等式続問の作成方法でも使われる：$\dfrac{n}{2(n+2)} > 0.49$ は $n > 98$ が必要であるから、最小値は$n = 99$ — 代数によるもので、数表ではない。

エイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を極座標形から指数関数へ変換する： 指数関数 $z = re^{i\theta}$ となり、$z^n = r^ne^{in\theta}$ は純粋な算術操作に帰着する。 $\cos\theta = \tfrac12(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$ を読み取れ。ド・モワールの定理 $\sin\theta = \dfrac1{2i}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})$ を読み取れ。ド・モワールの定理 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ が導かれ、すべての 正整数 $n$ について帰納法で証明可能である：$n = 1$ のとき真であり、$k$ のとき成り立つと仮定すれば、 $(\cos k\theta + i\sin k\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$ を加法定理で展開する formulae gives $\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta$. For negative $n$, take reciprocals and $\cos(-n\theta) + i\sin(-n\theta)$ の絶対値が 1 であり、右側の引数が一致することを確認せよ。

** worked example — 倍角公式 (WFM02 June 2025 Q9 )** 虚部を展開せよ。 の $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$ の二項定理による展開：

デ・モワールはこれが $\sin 5\theta$ に等しいと述べています。 $c^2 = 1 - s^2$ を代入します： $5s(1-s^2)^2 - 10s^3(1-s^2) + s^5 = 16s^5 - 20s^3 + 5s$ なので、

$5\theta = \pi$ とすると $16s^4 - 20s^2 + 5 = 0$ が得られるため、 $s^2 = \tfrac{5\pm\sqrt5}8$ および $\sin\tfrac\pi5 = \sqrt{\tfrac{5-\sqrt5}8} = \tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4$ — 较小的根を選択します なぜなら $\sin\tfrac\pi5 < \sin\tfrac{3\pi}5$ であり、実際 $\sin\tfrac{3\pi}5$ はより大きな根だからです。

** worked example — fifth roots (WFM02 June 2025 Q1).** $z^5 = -2\sqrt2 - 2\sqrt6i$ を解きます。 絶対値 $\sqrt{8 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt2$ ；偏角は $-\tfrac{2\pi}3$ （第三象限、 $\tan = \sqrt3$）。したがって

円 $\lvert z\rvert = \sqrt2$ 上で $\tfrac{2\pi}5$ 間隔に配置された5つの根を用いる。 $n$ 乗根のパターン $\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ を用います — 小数近似値は絶対に使用しません。

アルザン図におけるLocusツールキット： $\lvert z - a\rvert = b$ は円（中心 $a$ 、 半径 $b$ ）； $\lvert z - a\rvert = \lvert z - b\rvert$ は 垂直二等分線 です $a$ と $b$ の垂直二等分線； $\lvert z - a\rvert = k\lvert z - b\rvert$ と $k \ne 1$ は円です (両辺を二乗して項をまとめます)；$\arg(z - a) = \beta$ は点 $a$ から始まる半直線である。領域 = を < or > に置き換えます：便利な点を1つテストします（原点がLocus上にあることは稀です）。 モビウス変換 $w = \dfrac{az+b}{cz+d}$ において $ad-bc\ne0$ の場合、単なる代入に依存せず、有用な代数形を選ぶことが重要です。 点ごとに: 最初に $z$ を主体として式を変形し、次に両辺の絶対値（または位相）をとります。$c\ne0$ が a であるとき、 極 $z = -\tfrac dc$ を通る円は直線に写像され、極を通らない円は 円に写像されます。

** worked example — 円の画像（WFM02 June 2025 Q3）。** $w = \dfrac{9i - iz}{1+z}$ $z \ne -1$ は、点 P $\lvert z\rvert = 1$ を直線 l に写像する。$z$ を主体として： $z(w + i) = 9i - w$ なので、$z = \dfrac{9i - w}{w+i}$。それにより、$\lvert z\rvert = 1$ が強制される

したがって $20v = 80$ であり、l は $v = 4$ —— $9i$ と $-i$ の垂直二等分線であり、まさに 等値半径の読み取りが予測した通りである。垂直直径の端点で確認する： $z = i \mapsto 5 + 4i$ と $z = -i \mapsto -5 + 4i$；どちらも $v = 4$ 上に位置する。

変数分離形を仮定する。新しい標準形は $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ であり、 $P, Q$ は $x$ の関数である：積分因子 で乗算する $e^{\int P\,dx}$、左辺が $\dfrac d{dx}\left(ye^{\int P\,dx}\right)$ となるように選択され、 その後、一度積分する。与えられた置換（例：$z = f(y)$）に対して $\dfrac{dz}{dx}$ を計算する 合成関数の法則によって計算し、方程式を $z$ と $x$ で書き換え、解く（現在は線形または変数分離形）， そして逆代入する——問題文に目標形が指定されているため、最終的にその形にする。

** worked example — 積分因子のウォームアップ。** $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$： $e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$ なので、$\dfrac d{dx}(ye^{2x}) = e^x$ および $ye^{2x} = e^x + C$， i.e. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

** worked example — 置換と積分因子の適用（WFM02 June 2025 Q6）。** 方程式 (I) は $2\dfrac{dy}{dx} + y\cot x + y^3\tan x\sec x = 0$ において $0 < x < \tfrac\pi2$ である。

(a) $z = \tfrac1{y^2}$ において、$\dfrac{dz}{dx} = -2y^{-3}\dfrac{dy}{dx}$ なので、 $2\dfrac{dy}{dx} = -y^3\dfrac{dz}{dx}$. 代入して $y^3$ で割る： $-\dfrac{dz}{dx} + y^{-2}\cot x + \tan x\sec x = 0$, i.e.

(b) 積分因子は $e^{-\int\cot x\,dx} = \csc x$ であるので、 $\dfrac d{dx}(z\csc x) = \csc x\tan x\sec x = \dfrac1{\cos^2x} = \sec^2x$。したがって $z\csc x = \tan x + C$ となり、$z = \sin x\tan x + C\sin x$ が得られ、

(c) $x = \tfrac\pi6$ において：$y^2 = \tfrac{4\sqrt3}3$ であるから $z = \tfrac{\sqrt3}4 = \tfrac12\cdot\tfrac1{\sqrt3} + \tfrac C2$ が、 $C = \tfrac1{2\sqrt3}$ を強制する。$x = \tfrac\pi3$ において：$z = \tfrac{\sqrt3}2\cdot\sqrt3 + \tfrac1{2\sqrt3}\cdot\tfrac{\sqrt3}2 = \tfrac32 + \tfrac14 = \tfrac74$ であるため、$y^2 = \tfrac47$ となるので、 $y = \pm\dfrac2{\sqrt7}$ 。両方の符号が答えとなる —— $y^2$ 、すなわち $y$ が決定された

$a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$ に対して、一般解は $\text{CF} + \text{PI}$：補関数は同次方程式の解であり、 補助方程式 $am^2 + bm + c = 0$ を通じて、特解 は完全方程式の単一の解そのものである。

初期条件または境界条件が与えられた場合、定数は最後に完全な一般解から求める。

** worked example — 共振、および条件 (WFM02 June 2025 Q4)。** 与えられたとき $y = \lambda xe^{3x}$ は $4\dfrac{d^2y}{dx^2} - 11\dfrac{dy}{dx} - 3y = 78e^{3x}$ の特定の解である:

(a) $y' = \lambda e^{3x}(1 + 3x)$ と $y'' = \lambda e^{3x}(6 + 9x)$ より、左辺は $\lambda e^{3x}\big(24 + 36x - 11 - 33x - 3x\big) = 13\lambda e^{3x}$。$78e^{3x}$ を対応させる ことで $\lambda = 6$ が得られる。(単純な試解 $\lambda e^{3x}$ なら $0\cdot e^{3x}$ が得られる——そのため $x$ が追加される。)

(b) 補助方程式 $4m^2 - 11m - 3 = (4m+1)(m-3) = 0$ より、$m = -\tfrac14$ または $3$ : $y = Ae^{-x/4} + Be^{3x} + 6xe^{3x}$.

(c) $y = \tfrac92$ と $y' = 0$ が $x = 0$ で与えられたとき: $A + B = \tfrac92$ および $-\tfrac A4 + 3B + 6 = 0$。解くと、$A = 6$, $B = -\tfrac32$ となるので、

$f$ のマクローリン級数は $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ —— 問題で指定された回数だけ微分する（3階以上の 導関数は単独で出題されうる）。$x = a$ におけるテイラー級数 $x$ をシフト量 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$ に置き換えます。a に対しては、 微分方程式において、方程式自体を微分して微分の階段を上る： $y(a)$ と $y'(a)$ は $y''(a)$ の方程式に代入され、その後その方程式の導関数は $y'''(a)$ となり、その後も同様である —— 常に再導出せず、微分のみを行う。

** worked example — 非ゼロの中心点に関する級数解 (WFM02 June 2025 Q2)。** 与えられた $\dfrac{d^2y}{dx^2} - 4\dfrac{dy}{dx} - 5y = e^{2x/9}$ に $y = 2$ と $y' = -1$ を $x = 3$ で代入する：

at $x = 3$: $y'' = 4y' + 5y + e^{2/3} = -4 + 10 + e^{2/3} = 6 + e^{2/3}$, so the quadratic term は $\tfrac12(6 + e^{2/3})(x-3)^2 = (3 + \tfrac12e^{2/3})(x-3)^2$。方程式を微分すると、 $y''' = 4y'' + 5y' + \tfrac29e^{2x/9}$ となるので、$x = 3$ において： $y''' = 4(6 + e^{2/3}) - 5 + \tfrac29e^{2/3} = 19 + \tfrac{38}9e^{2/3}$, and the cubic term is $\tfrac16y'''(x-3)^3$。級数は

極座標において、ある点は $(r, \theta)$ であり、$r \ge 0$ は 初期線（正の $x$-軸、$\theta$ 反時計回り）からの角度として測られる。変換には $x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$、 $r^2 = x^2 + y^2$ を用いる：例えば $r = 4\cos\theta$ は $r^2 = 4r\cos\theta$ を与える、すなわち、 $x^2 + y^2 = 4x$ —— 円 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ 。スケッチの標準的な要素を理解しておく：$r = 2a\cos\theta$ （初期線上で极点を通る円）、$r = k\theta$ （螺旋）、$r = a(1+\cos\theta)$ （カージオイド）、$r = a\cos2\theta$ （四枚の花弁）、$r^2 = a^2\cos2\theta$ （ルシス、$\cos2\theta \ge 0$ の範囲のみ存在）。 $\theta = \alpha$ から $\beta$ までの距離は $\tfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$ であり、接線は $\dfrac{dy}{d\theta} = \dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta = 0$。

** worked example — 正確な面積。** 全体 ルシス $r^2 = 8\cos2\theta$：対称性より、 右側のループは $\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}8\cos2\theta\,d\theta = 4\Big[\tfrac12\sin2\theta\Big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 4$ なので、両ループが囲む総面積は $8$。 カージオイド $r = 2(1+\cos\theta)$: $\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}4(1+\cos\theta)^2d\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta = 2(2π + 0 + π) = 6π$、なぜなら $\int_{-\pi}^\pi\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

*極座標グリッド上に描かれた3つの極曲線：極を通る円 r = 2a cos θ、心形線 r = a(1 + cos θ)、そしてルージュ r² = a² cos 2θ（1つのループを塗りつぶし、扇形面積要素 ½r²dθ を示す）。

• 絶対値不等式を場合分けと二乗によって解き、分母内の $|x|$ を扱う；枝が枯れる箇所を報告する；「hence」の表示がある場合は前問を活用する。
• 部分分数分解と約分を用いて有限級数の和を求め、$r = 1, 2, n-1, n$ の行を記載する；続く不等式は代数によってproofする。
• $e^{i\theta}$、$\cos$ と $\sin$ の指数形式、および整数 $n$ について証明されたデ・モワールの定理を用いて、倍角や累乗を展開し、すべての $n$ 次根を正確な極形式で見つける。
• 円、二等分線、アポロニウスの円、およびArgumentの半直線を概略図に描く；領域を試す；Mobius変換の被変数として $z$ を取り出し、絶対値またはArgumentを等置する。
• 積分因子を用いて $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ を解く；与えられた置換を実行し、要求される形式で答える；$y^2$ からの $\pm$ に注意する。
• 補助方程式と試解特解（PI）を用いて2階微分方程式を解く（$x$ の共振を含む）、初期条件を当てはめる。
• マクローリン級数とテイラー級数を構築する；また、微分方程式の級数解法として方程式を微分する手法も含む。
• 極曲線の基本形を概略図に描き、直交座標系との相互変換を行い、$\frac12\int r^2\,d\theta$ を用いて正確な面積を求める。