FP1 · Further Pure Mathematics 1

純粋数学 1 (FP1、試験 WFM01/01、1時間30分、75点) は国際AS・Aレベル純粋数学および国際AS・Aレベル for International AS and A Level Further Mathematics and for International AS and A Level Pure Mathematics. P1–P2 are assumed and may be tested, including sign-change location of roots, 原点周りの図形の回転、および三次式または四次式を二次式で割る。これ 行列代数、変換、有限級数、帰納法による証明を扱います。 放物線と直交双曲線、行列代数、変換、有限級数と証明 帰納法による。

FP1 必見項目（ブックレットには含まれていない）：

複素数とは $z = a + bi$ に $i^2 = -1$ を加えたもの； $a$ は 実部であり、 $b$ は 虚部である。共役複素数 $\bar z = a - bi$ は虚部の 符号を変化させ、 $z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$ — そのトリックが 分母を実数にする: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$。二つ 複素数が等しいのは、実部と虚部がともに一致する場合に限られる。極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ は 絶対値 $r$ と 偏角 （$z\ne0$ が成立するときのみ定義される）を対になる。 $\theta$対応させる；複素数の積では絶対値の積になる（$\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$）。

** worked example — 実数の和が虚部を固定する。** $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ に $r > 0$ を加え、 $z_2$ の絶対値は 5 である。 $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$ より、 $r = 3$ が得られる。よって $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$ 。もし $z_1 + z_2$ が実数であれば、その虚部は 0であり、$z_2 = a + \tfrac32 i$となる；よって$a^2 + \tfrac94 = 25$から$a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$が得られる。$z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$およびその虚軸に関する対称点の両方が成り立つ。 虚軸上で成り立つ。

アルジャン図（Argand diagram）において、点 $(a, b)$ として $z = a + bi$ をプロットする： 加法はベクトル加法であり、共役複素数は実軸に関して対称であり、 $\lvert z\rvert$ は 原点からの距離である。

実係数かつ負の判別式を持つ二次式に対して、平方完成を行う： この性質は次数も保たれる：実係数に対して$x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$が成り立つなら、$x = 3 \pm 2i$も成り立つ。 この命題は成立する：$f(z_1) = 0$ が実係数であれば、$f(\bar z_1) = 0$ も成立する 。 So a real cubic has either three real roots or one real root plus one conjugate pair, and $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ は実数である。 二次因子である。これを割り引出して残りの部分を得る。

Worked example — a quartic with a given complex root (WFM01 June 2025 Q7). $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$に根$3 + 5i$があるため、$3 - 5i$も根であり

$f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$を代入して比較すると：$34c = 68$したがって$c = 2$； $-6c + 34b = 192$より$34b = 204$、$b = 6$；次に$b - 6P = -36$から$P = 7$が得られ $c - 6b + 34P = Q$から$Q = 204$が得られる。（$f(3+5i) = 0$で確認：元の方程式 $644P + 16Q = 7772$ が成り立つのは、$644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$ であるためである。他の解 $7z^2 + 6z + 2 = 0$を解く：

電卓を使わずに：$b^2 - 4ac < 0$の算術と共役因子の事実はのみを用いる。

$ax^2 + bx + c = 0$の根が$\alpha, \beta$の場合：$\alpha + \beta = -\tfrac ba$および $\alpha\beta = \tfrac ca$ における$\alpha, \beta$ の対称式は、個々の 根を必要としない：$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$、$\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$、$\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$。新しい二次式を構築するには、新しい和と 項を新しい変数の式で表す必要はなく、方程式は$x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$ となる。

** worked example — 解かずに新しい根（WFM01 June 2025 Q6）。** $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ は根$\alpha, \beta$を持つため、$\alpha\beta = -\tfrac53$。もし$\alpha + \beta = 9\alpha\beta$なら、 $-\tfrac k3 = -15$であるため、$k = 45$および$\alpha + \beta = -15$。根$\alpha^2 + \beta$に対して および$\alpha + \beta^2$：

新しい方程式は$9x^2 - 1920x - 31040 = 0$（$x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$を 9で乗算）である。

三つの反復法による近似解の探索：二分法と内挿法は区間で連続関数を必要とし、ニュートン＝ラフソン法も各ステップで定義され非ゼロの導関数を必要とするが、収束しないことがある。区間二分法 は符号変化を含む区間を半分に分割する；線形補間法 $(a, f(a))$から$(b, f(b))$への接線を取り、その接線の零点とする $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$；ニュートン＝ラフソン法

• （手紙に式が記載されている）$x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$を反復する。 すべての計算過程を示すこと。「電卓のみ」の回答は得点対象外である。

** worked example — 二分法と補間（WFM01 June 2025 Q3）。** (i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$は$[0, 1]$内に単一の根$\alpha$を持つ： $f(0) = 4 > 0$, $f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$なので半分にすると：$f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$。符号の変化は$[0, 0.25]$内にある。 (ii) $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$（ラジアン）：$g(4) = 2.396 > 0$と$g(5) = -0.502 < 0$、および $g$は連続関数であるため、根$\beta$は$[4, 5]$内にある。一度補間を行う： $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

ニュートン＝ラフソン法（元例）。 $x_0 = 2$から$x^3 - 2x - 5 = 0$を解く： $f(2) = -1$, $f'(x) = 3x^2 - 2$なので$f'(2) = 10$と$x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$；次に $f(2.1) = 0.061$, $f'(2.1) = 11.23$, $x_2 = 2.0946$。反復は解に近づき、おおよそ $2.09455$ となる（確認: $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$）。

放物線 $y^2 = 4ax$は参数方程式$x = at^2$, $y = 2at$を持ち、 等軸双曲線 $xy = c^2$は$x = ct$, $y = \tfrac ct$を持つ。接線と 法線はカルテシアン方程式を微分することで得られる（パラメータ微分は $y^2 = 4ax$は$\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$を与えるので$t$ $xy = c^2$ は$y = \tfrac{c^2}x$ を与えるため、$\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ における$x = ct$ で。

解例 — 双曲線の法線（WFM01 June 2025 Q4）。点$xy = 81$について $P(9t, \tfrac9t)$: $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$、したがって法線の 傾きは$t^2$:

$y$ 軸において、$A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$ 。$t = \tfrac13$ を用いると：$P = (3, 27)$ となり、 $A = (0, \tfrac{80}3)$、よって三角形$OPA$の面積は$\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$。

放物線は、焦点$(a, 0)$および 准線$x = -a$からの等距離点の軌跡である。幾何学の問題を解く鍵は、代数ではなく距離にある。

解例 — 焦点と准線の距離（WFM01 June 2025 Q9）。点$P$は放物線上にあり 焦点から5単位離れているため、$P$もまた准線から5単位離れている（$PF = PM = 5$、$PM$が 准線に垂直である）。准線上の点$Q, R$は条件$PQ = PR = 10$を満たす。各 直角三角形$PQM$について$QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$であり、$M$は $Q$と$R$の間に位置するため、$QR = 10\sqrt3$。

行列の加算は成分ごと（同じ形状）、スカラー倍も成分ごと、掛け算は行と列の間で行う ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$; 一般に$\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$)。 $2\times 2$行列$\det\mathbf M = ad - bc$について：零行列は特異（逆行列なし）であり； そうでなければ$\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$、かつ $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$。逆行列の順序は反転する：$(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — まず最後の変換を元に戻す。

** worked example — 一貫性を保つべき逆変換（WFM01 June 2025 Q1 ）** $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$と$a \ne -\tfrac53$に対して：

$\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$ が与えられたとき、 各項目を比較する。$\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$は$5 + 3a = \tfrac12$を与え、他のすべての項目は これを裏付けているため、$a = -\tfrac32$ 。

$2\times 2$ 行列$\mathbf M$ は列ベクトルを$\mathbf y = \mathbf{Mx}$ で変換し、その 列は$\mathbf i$と$\mathbf j$の写像である — 任意の変換をそのまま読み取れる。 行列から外れる。標準的な結果：

合成変換 $\mathbf{AB}$ は「まず $\mathbf B$ を適用し、次に $\mathbf A$ を適用する」ことを意味する。逆 変換はこれを元に戻し、$\lvert\det\mathbf M\rvert$ は面積拡大率である：面積は行列式の値に比例して増減する （負の行列式は反射を加える）。

** worked example — 変換の説明と組み合わせ（WFM01 June 2025 Q2 ）** $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$は$\mathbf i \to (0,-1)^T$を写し、 $\mathbf j \to (1,0)^T$: a quarter-turn clockwise (270° anticlockwise) about $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ は、拡大率（スケール因子）が 5 で、中心が $O$ の拡大変換である。$y = -x$ に関する対称移動 は$\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$となるため、$A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$となる。$\mathbf Q$が$\mathbf P$に従って$B$を$A$に写すなら、$B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — $\mathbf P$自身の逆行列は転置であるため、これは純粋に計算問題である。

$\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (および「パンフレット」からの $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$) において、 任意の多項式の各項は標準的な形に分解される — 偶数の上限までの和を含む。 限界 $2n$ (標準公式に $k = 2n$ を代入) およびシフトされた和など $\sum (r+1)^2$.

** worked example — 上限 2n までの和 (WFM01 June 2025 Q8a)。** 以下の $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

および $4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$ であるため、和は $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$ となる: $a = 4$, $b = -1$。($n = 1$ を確認: $1 + 7 = 8$ および $\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$。)

帰納法 は、正の整数すべてに対して命題 $P(n)$ を成立させるために、以下の3つの手順を用いる: $P(1)$ を検証する; $P(k)$ が成り立つと仮定する; その結果から $P(k+1)$ を導く — そして「$n = 1$ について真」として締めくくる。 $n = k$ について真であれば $n = k+1$ についても真であり、したがって帰納法によりすべての正の整数 $n$ について真である」。この締めくくりの文は証明の一部である。評価対象となる4つのカテゴリー: 和の 公式、整除、漸化式で与えられた数列、および行列の冪。

** worked example — 和の計算 (WFM01 June 2025 Q8b)。** 以下の $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$ を証明せよ。$n = 1$ のとき: 左辺 $= 1\cdot1^2 = 1$ であり、 右辺 $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ — 真である。$n = k$ について真であると仮定すると、第 $(k+1)$ 項 は $(k+1)(3k+1)^2$ であるため、

括弧を展開する：$9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$。目標は $n = k+1$が$\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$であり、その括弧$(k+1)(k+2)(9k+2)$は以下のように展開される $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ は恒等変換である。したがって、この命題は $n = k+1$について成り立ち、帰納法によりすべての正の整数$n$について成り立つ。

整除（元例）。 $n^3 + 2n$が3で割り切れることを示せ。$n = 1$の場合：$3$。 $k^3 + 2k = 3m$を仮定すると、$(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$となり、依然として3の倍数である。帰納法により、すべての$n$について真である。

行列のべき乗（元例）。 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$を示せ。$n = 1$については真である。$k$について真ならば、 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$となり、 帰納法が完了する。

• $a + bi$と$r(\cos\theta + i\sin\theta)$を用いる：位相角、共役複素数、商を実数にする。
• 実係数の三次式・四次式の因数分解に共役な対を用い、電卓を使わずにすべての解を求める。
• $\alpha + \beta$と$\alpha\beta$を用いて対称式を変換し、変換された根のための新しい二次方程式を形成する。
• 二分法と線形補間を用いて解を特定し、すべての評価値を示す。与えられた始点からニュートン＝ラフソン法を反復する。
• $y^2 = 4ax$と$xy = c^2$のパラメータ表示を用いる；カルテ座標による微分を用いた接線／法線、焦点-準距距離。
• $2\times2$行列（および$(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$）の逆行列を求め、行列方程式を成分ごとに解く。
• 行列からの反射、回転、伸縮、拡大を特定し、正しい順序で組み合わせる；$|\det|$を面積拡大率として用いる。
• 標準公式を用いて級数を$n$および$2n$まで和を取り、級数、整除、再帰関係、行列に関する結果を帰納法で証明し、結論文を付記する。