S2 · Statistics 2

Statistics 2 (S2, 試験 WST02/01, 1 時間 30 分, 75 点, 初回評価 6月 2020 年) 応用ルートでは S1 に準拠する：P1–P2 および S1 は前提とする。 booklet には二項分布、 ポアソン分布および正規分布の表が含まれる。この参考書は二項分布とポアソン分布及其びその近似、 連続型確率変数、一様分布、標本抽出、そして完全な仮説検定の手順を網羅している。 完全な仮説検定の手順。

S2 で必須（ booklet には記載なし）：

二項分布：$n$ の独立試行、一定の確率 $p$ — これら2つの仮定を文脈の中で述べる必要があります。 ポアソン分布：事象は単独で、互いに独立に、一定の平均レートで発生する — そのレートは scales ($\mathrm{Po}(\lambda)$ per minute gives $\mathrm{Po}(5\lambda)$ in 5 minutes). Moments 式として与えられる: $np$ および $np(1-p)$; $\lambda$ および $\lambda$. 平均と分散が 二項分布のとき、$n$ と $p$ を連立方程式で解く。ポアソン近似は 二項分布に対して $n$ が大きく $p$ が小さい場合に用いる ($\lambda = np$ を参照).

** worked example — moments then approximations (WST02 June 2025 Q3) **。小袋あたりの青いキャンディの 平均が 3 、分散が 2.55 ：$np = 3$ と $np(1-p) = 2.55$ より $1 - p = 0.85$ が得られるため、 $p = 0.15$ と $n = 20$ です。中袋 40 個で緑色の比率が 20% ：$X\sim B(40, 0.2)$ , $E(X) = 8$ , $P(X > 8) = 1 - P(X \le 8) = 0.407$ です。大袋 80 個で黄色の比率が 10% ：$n = 80$ を用いて 連続型確率変数は 確率密度関数 $p = 0.1$ を持ち、総面積は$X\approx\mathrm{Po}(8)$ で、各点における値は$P(X \ge 12) = 1 - P(X \le 11) = 0.112$; 累積分布関数

連続型確率変数 は、全面積が 1 で、各点で $P(X = x) = 0$ となる 確率密度関数 $f$ を持ちます。累積分布関数 $F(x) = P(X \le x)$ は $f = F'$ と $F(a) = \int_{-\infty}^a f$ を満たします。区間ごとの密度関数： 四分位値、および 最頻値 を $\int f = 1$ のピークから読み取る ($F = \tfrac12$ を置換するか、頂点を確認する)。 四分位値、および $f$ の山（集合 $f' = 0$ を設定するか、角を確認する）からの最頻値。 $E(X) = \int xf\,dx$, $E(X^2) = \int x^2f\,dx$, $\mathrm{Var} = E(X^2) - [E(X)]^2$; 歪度 平均、中央値、最頻値を比較する。

** worked example — CDF の計算例 (WST02 June 2025 Q1).** $F(x) = k(6x^2 - x^4)$ について $[0, 1]$ の展開を組み合わせる：$F(1) = 1$ が $5k = 1$ を与える。$P(X > 0.6) = 1 - \tfrac{6(0.36) - 0.1296}{5} = 0.594$。 中央値: $\tfrac{6m^2 - m^4}{5} = \tfrac12$ 、すなわち $2m^4 - 12m^2 + 5 = 0$ なので、 $m = 0.671$ 。極大値：$f(x) = \tfrac{12x - 4x^3}{5}$ と $f'(x) = \tfrac{12 - 12x^2}{5} = 0$ $x = 1$ を与える（$-1$ を却下、サポート外）。歪度: 平均 $0.64 <$ 中央値 $0.671 <$ 最頻値 $1$ — 負の歪み。

** worked example — 片線形pdf、電卓なし（WST02 June 2025 Q5 ）** 以下のように、 $f(x) = \tfrac{2x}{21}$ は $[0, k]$ で、$f(x) = \tfrac{2(6-x)}{15}$ は $(k, 6]$ です: 正規化して、

したがって $k = 3.5$ （pdfはここで連続であり、両方の式が $\tfrac13$ と等しい）。次に $E(X) = \tfrac{2}{21}\cdot\tfrac{k^3}{3} + \tfrac{2}{15}\int_{3.5}^6(6x - x^2)dx = \tfrac{19}6$, そして $E(X^2) = \tfrac{277}{24}$ が与えられている場合、 $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{277}{24} - \tfrac{361}{36} = \tfrac{109}{72}$.

$[a, b]$ 上の連続一様分布 $[a, b]$ 上で一様: 密度 $\tfrac1{b-a}$ 、直線CDF、平均 $\tfrac{a+b}2$ 、分散 $\tfrac{(b-a)^2}{12}$ 。2つの事実が $a$ と $b$ を決定する（区間確率は $b - a$ を与え、 平均は $a + b$ を与える）。スケールコード化は平均を変換し、確率は $b - a$ に対する長さである。

Worked example — uniform on a wide interval (WST02 June 2025 Q6). $P(2 < X < 5) = \tfrac3{16}$ gives $b - a = 16$; $E(X) = 6$ gives $a + b = 12$: so $a = -2$, $b = 14$ ($a = 4.4$, $b = 7.6$ も適合する — だが問題全体に対して1つの解を残すこと)。 $E(cX + 1) = 3$ は $c = \tfrac13$ を与えます; $\mathrm{Var} = \tfrac{256}{12} = \tfrac{64}3$ ; $E(X^2) = \tfrac{64}3 + 36 = \tfrac{172}3$; and $P(\tfrac32X - b > a) = P(X > \tfrac{2(a+b)}3) = P(X > 8) = \tfrac{14-8}{16} = \tfrac38$ 。

集計 は全員を調査する（完全だが高額・時間がかかり、破壊的である場合もある）；一方、 標本 は一部を調査する（安価・迅速だが、標本誤差がある）。標本枠 は標本単位の一覧である。統計量 は標本値のみの関数であり（未知の 母数はない）— $\bar X$ はそれであるが、$\bar X - \mu$ はそうではない；反復標本におけるその分布は 仮説検定はデータを帰無モデルと比較する。

** worked example — 標本分布 (WST02 June 2025 Q4).** 2:5 の 黒:白の袋、黒を4点、白を1点: $P(\text{black}) = \tfrac27$で、 score $X$ takes 3, 6, 9, 12 with probabilities $\tfrac{125}{343}, \tfrac{150}{343}, \tfrac{60}{343}, \tfrac{8}{343}$ (binomial weights $\binom30(\tfrac57)^3$ etc.). If $Y$ は、 $n$ 回の独立試行中に 9 個の集合を選ぶ回数を表し、$Y\sim B(n, \tfrac{60}{343})$ および $1 - (\tfrac{283}{343})^n > 0.95$ には $n > 15.6$ が必要なので、$n = 16$ となる。

仮説検定は、データと帰無モデルを比較する。

帰無仮説 $H_0$（変化なし、引用されたパラメータ）と $H_1$（質問された片側または両側）を示す。 指定された水準で右側の確率を蓄積して閾値に達するまで critcal region を見つけ、 $\alpha$；実際の有意水準として全体の右側確率を報告する。片側検定 検定では全体レベルを片側 tests に置きます; 両側 test はそれを分割する。文脈の中で結論付けよ: 「…が変化したという十分でない証拠」 二項分布の正規近似: 平均$np$, 分散 $np(1-p)$, 連続性補正 (少なくとも$t$とは$t - 0.5$)。

** worked example — ポアソン率検定 (WST02 June 2025 Q2).** 顧客は平均 20/時間、 変更後、30分間の間隔を観察する：$X\sim\mathrm{Po}(10)$, $H_0\colon\lambda = 10$, $H_1\colon\lambda \ne 10$。3%で：$P(X \le 3) = 0.0103$だが$P(X \le 4) = 0.0293$（大きすぎる）； $P(X \ge 17) = 0.0270$だが$P(X \ge 18) = 0.0143$ — 有意領域は$X \le 3$または$X \ge 18$, 実際のレベルは$0.0103 + 0.0143 = 2.46\%$。観測された16が外側にある → ⟨$H_0$を棄却しない》。

** worked example — 正規近似を用いた二項分布検定 (WST02 June 2025 Q7) **。30%の 保険に加入します; 40 のサンプルで $X\sim B(40, 0.3)$ が得られた。$r$ が最大となる $P(X < r) < 0.05$ (fewer than $r$): $P(X \le 6) = 0.0238 < 0.05$ but $P(X \le 7) = 0.0553 > 0.05$, so $r = 7$。200の 顧客について、$B(200, 0.3)\approx N(60, 42)$：$P(X \ge t) = 0.9474$とは $\tfrac{t - 0.5 - 60}{\sqrt{42}} = -1.62$であるため、$t = 50$。特別オファー後、11/25が購入した： $H_0\colon p = 0.3$, $H_1\colon p > 0.3$; $P(X \ge 11) = 0.0978 < 0.10$ therefore $H_0$を棄却 — 比率が増加したという証拠。

• 文脈における二項分布・ポアソン分布の仮定を述べる；$n$, $p$に対する平均・分散のペアを解く；時間を基準にポアソン率をスケールする。
• 区間別密度関数を正規化（定数、完全平方k）；Fを微分してfを得る；Fから中央値・四分位値を求め、f'や角点から最頻値を求める；E(X), E(X²), Varを計算する；平均・中央値・最頻値から歪みを読み取る。
• 一様分布の事実を引用し導出する；区間と平均よりaとbを決定する；確率は長さとして扱う。
• 全数調査と標本抽出の違いと利欠点を区別する；統計量を識別する；列挙により小標本分布を構築する；追跡分析のためにB(n, p)でカウントを包み込む。
• 片尾・両尾検定を実行する；記号と言葉で仮説を立て、蓄積による有意領域を定め、実際の有意水準を求め、文脈に基づいて結論を出す；nが大きい場合は連続性補正付き正規近似を用いる。