M1 · Mechanics 1

Mechanics 1 (M1, 試験用紙 WME01/01, 1時間30分, 75点, 初回試験は6月2019) は International AS Mathematicsの応用単元である：P1およびP2が前提となる。 $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$を適用せよ（指示がない限り）。不正確な答えは2または3 有効数字で答える。この参考書はモデル化の仮定、力学におけるベクトル、 一定加速度の運動学、接続された質点を含むニュートンの法則、運動量と沖力、 摩擦、静力学およびモーメントをカバーしている。

M1で必須の知識 （数式集には含まれていない—暗記すること）：

問題文の語句は指示である。質点は質量を持つが大きさを持たず、板状物体 は面積を持つが厚さを持たず、棒状物体は長さを持つが厚さを持たず、剛体は 形状が定まります。Light（軽量） は質量がないことを意味します。滑らかな滑車の上を通過する荷重のない軽量ロープは、全体を通じて同じ張力を持ちます。Uniform（均質） は密度が一定であることを意味するため、均質棒の重心はその中央に位置します。Inextensible string（伸縮しないロープ） は長さが固定されます；一方の滑車に張られたロープは端点の速度の大きさを結びつけ、Smooth surface（滑らかな面） と Rough surface（粗い面） の違いによって、 なぜなら、得点はモデル化にも代数にも同様に与えられるからである。 「滑らかで摩擦なし」という仮定を使うこと。点数はモデル化の中にあり、 代数計算と同じくらい重要である。

変位、速度、加速度、力はベクトルである：$(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ は大きさ $5$ と正の $x$-軸からの方向 $\tan^{-1}(-4/3)$ を持つ。成分に分解し、成分ごとに計算し、最後に合成する。合力は 成分ごとに計算して最後に合成する。合力は $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ の $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$である。東を$\mathbf i$、北を$\mathbf j$とするとき、 は南西を指し、真南から西へ $-5\mathbf i - 12\mathbf j$ だけずれているので、その方位角は 南西を向いており、真南から西へ$\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ずれているため、方位角は $180 + 23 = 203°$.

** worked example — 位置ベクトルと方位角 (WME01 June 2025 Q2) **。粒子Aは $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ と $\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$。 速度$= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$であり、 so $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

一定加速度とは、各フェーズごとにスーバット（suvat）公式が適用されることを意味し、重要な点は符号の扱いである。 正の方向を選び、各フェーズに対して$s, u, v, a, t$に符号を付けて書き出し、 求めたくない未知量を含まない公式を選択する。グラフ：速度-時間グラフにおいて、傾きは 加速度であり、面積は変位である（軸以下の面積は負とみなす）。速さ-時間 グラフは負になれないため、上昇から下降への変化はV字型として描かれる。

** worked example — 上下運動（WME01 June 2025 Q3）** 球をA点から垂直上方へ A, 12 m 高いB点から発射し、Bに到達するのに4 sかかる。上向きを正とし、 $A$ を原点とする。$s = -12$: $-12 = 4U - 4.9(16)$、よって$U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 s.f. 17)。 地面での速さ：$v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$、したがって$v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$。 The speed–time graph is a V: falling from 16.6 to zero at the top (after $16.6/9.8 = 1.7$ s) であり、$t = 4$ で 22.6 に達する — 下降部はより長く、より高い速度まで上昇する；両方の区間の勾配の大きさは $g$ である。

Newton's second law, applied one way along a line: $F_{\text{net}} = ma$ with every force 糸が滑車を下方に引く力は それぞれの物体について運動方程式を立てる（張力は同じ、速さの大きさは同じ）。次に$T$を消去する。On 斜面に沿ってと斜面に垂直な成分に分解する；$\tan\theta = 3/4$ は $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

** worked example — 船着場における2本のロープ（WME01 June 2025 Q4 ）** 800 N の力が $25°$ 上方にある場合、 運動の直線上で 500 N、直線に対して $\alpha$ 下方にある力が、船着場を運河に沿ってまっすぐに引く。 運動に垂直方向には加速度がない：$800\sin25° = 500\sin\alpha$、したがって $\sin\alpha = 0.676$ と $\alpha = 43°$ 。運動方向において、質量が 15000 kg で抵抗 750 N ：$800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$ 、結果として $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — 数値がこれほど小さい場合は、小数点以下3桁での回答が求められる。

** worked example — 滑車、開始から終了まで（WME01 June 2025 Q8 ）** 球P（質量 $kM$ ）とQ （質量 $3M$ 、$k < 3$ ）は固定された軽滑な滑車の両端に吊り下げられ、$\tfrac g5$ で加速している。 運動方程式：$T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ （P 上向き）および $3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ （Q 下向き）。$T$ を消去すると：$3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$ 、したがって $5(3-k) = 3+k$ および $k = 2$ 。 string pulls the pulley down with $2T$: with $M = 0.5$ kg, $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ N, so the force is $23.5$ N. When Q lands 2.5 m 後に地面に着地したときの速度は $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$ であり、もしこれが $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ で跳ね返る場合、Q に働く沖撃は $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ N s となる。その後 P は重力のみによって上昇し続け、$\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ s の下降段階の後に $5/\sqrt g = 1.60$ s 間滞留する：静止するまでの合計時間は $\approx 1.9$ s 。

運動量 $mv$ と 沖力 $I = mv - mu$ は、直線上の符号に従って扱う。ニュートンの第三法則により、 衝突する2つの物体に働く沖力は、大きさが等しく方向が逆向きである — 両方ではなく、そのどちらか一方を用いる。垂直衝突の場合、運動量の保存則 $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ には一貫した符号が必要です；再係数は M1 に含まれない。

** worked example — 両物体に対する冲力（WME01 June 2025 Q1）** P（質量 $km$、速度 $5u$） は Q（質量 $3m$、速度 $2u$）を捕らえ、その後 P はStill $2u$ で進行し、Q は $v$ で進行する。Q に 働く冲力は $4.5mu$：$3m(v - 2u) = 4.5mu$ なので、$v = 3.5u$ となる。P に 働く冲力は等しく逆向き：$km(5u - 2u) = 4.5mu$ なので、$k = 1.5$ となる。

粗い表面では、接触力は 法線反力 $R$ （垂直成分）と摩擦力 $F$（接線成分、運動またはその傾向に逆らう）に分解される。移動時： $F = \mu R$ = μ$\mu$ N（μは 摩擦係数）。平衡状態では $F \le \mu R$ < μN、 限界平衡で等号が成り立つ。「動きかける寸前」という表現は $F = \mu R$.

** worked example — 粗い斜面上の荷物（WME01 June 2025 Q6）** において、 $\tan\theta = \tfrac34$ と $\mu = \tfrac14$ ：垂直成分、$R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$； 接線成分（上向きを正、減速中）：$-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$ なので、 $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$の正確な分数として残す必要がある。斜面上で力$\tfrac45g$によって静止している物体 must stay as an exact fraction of $g$. Held at rest on the slope by a force $X$ up the plane (mass 2 kg): $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, so $X = \tfrac45g = 7.84$ N.

合力がゼロのとき、質点は平衡状態にある。2つの垂直方向に分解し、両方の総和をゼロとするか、閉じたベクトル三角形を描く。重力 垂直な方向に分解して両方の総和をゼロとするか、閉じたベクトル三角形を描く。重力 $mg$ 下向き、法線反力 は表面に垂直、張力 はロープに沿う 物体から遠ざかる方向（ロッドに沿った推力は押し出す）、摩擦は表面に沿ってすべりを抵抗します。 粗い地面で静止している場合、$F$ は多角形を閉じる値であり、最大 $\mu R$ に制限される。

worked example — 力のつり合い（原版）。 重力が 50 N の質点が二つの 軽いロープによって鉛直に対して $40°$ および $60°$ の角度で吊り下げられている。水平成分: $T_1\sin40° = T_2\sin60°$; 垂直成分: $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$。最初の式より, $T_2 = 0.742T_1$; 次に $T_1(0.766 + 0.371) = 50$ より、したがって $T_1 = 44$ N および $T_2 = 33$ N (2 s.f.).

力のモーメント は点に対する「力 × 垂線の距離」であり、向きに応じて符号を付ける。 つり合っている剛体は任意の点に関する合力モーメントがゼロである。したがって、 未知数を最も多く消せる支点を選ぶ。「X について傾きかける寸前」とは、他の場所での反力がゼロになり、モーメントを X について取ることを意味する。 elsewhere での反力はゼロとなり、モーメントは X について取られる。

worked example — 棚の上のロッド（WME01 June 2025 Q5）。 長さ $3a$ の不均一なロッド AB が 水平な棚の上に置かれており、端部 C は $AC = 2a$、重心は A から $d$ の位置にある。B において上昇する Bに作用する力$P$がAのまわりで傾く：Aのまわりのモーメントは$3aP = Wd$となる。Bに下向きの力$1.25P$ Cのまわりで傾く：$1.25Pa = W(2a - d)$。$P = \tfrac{Wd}{3a}$（単位$a$）を代入して： $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$、したがって $1.25d = 6a - 3d$、これにより $4.25d = 6a$ および $d = \tfrac{24a}{17}$. 本授業：各傾斜ケースには独自の支点があり、 その間では重量のモーメントのみが不変として残る。

• 適用されるモデル化の仮定（質点、軽ロッド、伸びない紐、滑らか／粗い）を列挙し、それぞれが何を可能にするかを説明せよ。
• 位置ベクトルと速度ベクトルを成分ごとに扱い、方向を方位角に変換し、共通時刻における相対位置を求める。
• 一相・多相のsuvat問題を解き、各相ごとに符号を固定する；運動グラフから勾配と面積を読み取り、上向き→下向きの運動に対する速度-時間Vの概略図を描く。
• $F = ma$を運動軸に沿って各物体に適用する；滑車による接続粒子問題は連立方程式で扱い、滑車にかかる力を $2T$として求める。
• 衝突ペアの片方の物体に対して沖量-運動量定理を用いる；一貫した符号で運動量を保存する。
• 接触力を $R$ と $F$ に分解する；移動中または限界状態のときには $F = \mu R$ を適用する；斜面での分解には $\sin\theta = 3/5$、$\cos\theta = 4/5$ を用い、$\tan\theta = 3/4$ のために分解を行う。
• 2方向での平衡のために力多角形を閉じる；静摩擦の上限を $\mu R$ とする。
• 未知数を消すための支点についてモーメントを取る；傾斜点が変わるたびに支点を切り替える。