S3 · Statistics 3

Statistics 3 (S3, paper WST03/01, 1時間30分, 75点, 初回評価 June 2020) 最終的な統計単元である：S1–S2が前提とされる。この資料には正規分布と χ²表とスピアマンの臨界値。この参考書は組み合わせ 正規変数、標本抽出法、推定量および標本平均の分布、信頼区間、そして仮説検定（単一・二標本の平均）、適合度検定および 列联表、順位相関とその検定を網羅しています。

S3で必須（ブックレットには含まれていません）：

独立した正規変数は加算され、正規分布になります。平均を加え、二乗係数を 分散に掛けて計算します。$3S$で$S \sim N(18, 0.03^2)$の場合：$3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — the mean triples but the variance multiplies by nine. Differences work the same way: $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$、かつ$P(|C_1 - C_2| > c)$片側 対称性による確率。

** worked example (WST03 June 2025 Q8).** $S \sim N(18, 0.03^2)$, $C \sim N(25, 0.03^2)$, $P \sim N(15, 0.2^2)$ 相互に独立（kg）。(a) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (sd 0.05196): $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (b) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$: $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (c) With $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$、事象$T < 30P_1 + 190$は以下のように変換される $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — 平均$504 + 125 - 435 = 194$および 分散$28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$の正規分布であるため、 $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

単純無作為抽出では、すべての構成員（およびサイズ $n$のすべての標本）に等しい確率で選択されます。標本枠を用いて乱数を適用します。系統的抽出 takes every $x$th member from a random start — for 20 from 360, $x = 18$; it クォータサンプリング はフレームなしでInterviewerが設定した quota を満たす — 安価だが 同時に現れることはない (間隔は固定される)。層別抽出 は 層別抽出は、階層に基づいて分割し、各層から比例して標本を抽出します。群内での異質性が大きい場合に最適です。 割当抽出 はフレームなしでInterviewer設定の割当てを満たす — 安価だが Interviewerバイアスを受けやすい。それぞれについて1つの利点と1つの欠点を理解すること。

統計量には未知の母集団パラメータは含まれない。推定量が不偏であるとは、その期待値がパラメータと一致することを指す。バイアスは両者の差として定義され、$\mu$に対する$\bar X$、 $\sigma^2$に対する$s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$である（$n-1$は補正項である）。 バイアスの符号と大きさは$\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$である。標本平均は $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$を満たす。つまり、標本サイズが大きくなると 標準誤差$\sigma/\sqrt n$が縮小する。

** worked example (WST03 June 2025 Q6).** $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$: $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$、したがって$R$は バイアス$\tfrac\mu4$を持つ。$S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$および $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$がともにバイアスなしである場合: 期待値の 力$a - b = 2$と$14a + 6b = 20$より、$a = 1.6$、$b = -0.4$。

** worked example — パラメータの復元 (WST03 June 2025 Q7)。** 与えられた $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$および$P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$: z値は$-0.4$ and $2.1$, so $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ and $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (SE 12) および$\mu = 45.2 + 4.8 = 50$; そして$P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$。

$\mu$(分散既知)に対する信頼区間は $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$で$z = 1.96$ (95%)、$1.6449$ (片側95% 臨界値)、$2.5758$ (99%)。解釈: この手続は$\mu$を95%の標本に捉える— 「μが内部にある確率が0.95」ではない。検定統計量 $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$; 分散が未知で $n$ が大きい場合、$s$ を代入する (中心極限定理 も非正規分布を認める) $n$ が大きい場合の個体数）。結論は、文脈における証拠を述べる。

** worked example — 差のある2つのサンプル (WST03 June 2025 Q4)。** 灰色のリス ($n = 80$, $\bar x = 500$, $s_x^2 = 1156$) および赤色 ($n = 80$; $\sum y = 23200$, $\sum y^2 = 6741351$, giving $\bar y = 290$ and $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0\colon \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ が 5% で:

よって H₀ を棄却する — グレーの平均は赤より 200 g 多い。分散置換 仮定（各母集団で $\sigma^2 = s^2$）が、この公式を適用する根拠となる。

適合度 は、観測値とモデルの期待値を比較する： $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$。自由度 = (セル数 − 1) − (データから推定したパラメータ数) from the data): a binomial with p̂ estimated loses one more. Combine tail cells whose expected frequency is below 5 before anything else. Contingency tables test association between two 端のセルは、他の操作に先立ってまとめよ。列联表 は、$E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ と $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

計算例 — 二項分布への適合 (WST03 June 2025 Q5)。 250 のくずりの 5 匹中 ($O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$): $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$ であり、期待値 ($8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$): $r$、したがって期待 頻度は $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$。⚪-クラスは $\sum = 5.70$ に寄与し、残りの $X^2 = 10.95$ に 自由度 $6 - 1 - 1 = 4$ を適用；5% の臨界値 9.488 を超える — 棄却： 二項分布は適切なモデルではない。

** worked example — 相関（WST03 June 2025 Q3）。** エンジン種別 × 初回故障時期 timing (250 cars, 3×3): the diesel/month 1–6 cell has $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$；残りの8つの階級について 7.444 を用いる 階級で、$X^2 = 12.325 > 9.488$ on 4 df — エンジンタイプ間の 相関がある証拠である。

スピアマンの順位相関係数は、単調な一致を測定する 2つの順位間；$\text{H}_0\colon\rho = 0$を検定表と比較し、順位について言葉で結論付ける。 順位に関する言葉。

スピアマンの順位相関係数 $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$は2つの順位間の単調な一致を測定する（同点の有無は検証しない）。 $\text{H}_0\colon \rho = 0$を検定表を用いて片側または両側の対立仮説と比較し、文脈に基づいて結論を出す（「審判間に正の一致の証拠が不十分である」など）。 証拠が不十分」）。 審判間の正の一致の証拠（"）。

Worked example (WST03 June 2025 Q2). Two judges rank 10 performances: the rank 片側有意水準における臨界値は$\sum d^2 = 66$：$r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$であるため、H1を棄却できない＝審判の順位間に正の相関の証拠が不十分である。 片側レベルで 臨界値 は 0.7455: $0.6 < 0.7455$ なので、H₀ を棄却しない — 採点者の順位間に正の相関を示す証拠が不十分である。

• 独立正規分布を組み合わせる（分散に対する係数の二乗）；差および|差|については対称性を用いる。
• 4つの標本抽出法の名前を述べて正当化し、系統抽出の間隔とその不可能性を計算する。
• 統計量がパラメータであることを確認し、バイアスの期待値を計算し、一貫推定量の方程式を解く。
• SE σ/√nを用い、2つの標本平均確率から(μ, σ)を復元し、X̄に関する確率を計算する。
• zに基づく信頼区間の構築と解釈；分散置換および中心極限定理を明記した単一・二標本検定を実行する。
• 期待頻度（モデルまたは相関表）を計算し、低いセルを統合し、自由度から推定パラメータの数を差し引いて、χ²表と比較する。
• 順位からスピアマンの rₛ を計算し、記号で仮説を示して表と対比し、結論は言葉で述べる。