S1 · Statistics 1

Statistics 1 (S1, paper WST01/01, 1 hour 30 minutes, 75 marks, first assessment June 2019) is 国際AS数学におけるM1の統計分野のパートナー科目であり、P1およびP2を前提とする。本 離散型確率変数および正規分布を網羅している。 参考書はデータの可視化と要約、確率、相関と回帰、 離散型確率変数および正規分布を網羅する。

S1で必須（ブックレットには含まれていない）：

統計的モデルとは、現実の状況を簡略化して表現し、分析し、 予測するために用いられるものである。用它的理由：実際の実験よりも迅速かつ安価であり、 反復・改善が可能であり、関係性を明確に示すことができる。標準的な理由を理解しておく — 「予測を行う」だけで 採点対象となるわけではない。

ヒストグラムでは、面積が頻度である：棒の高さは頻度密度 $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$ 因此，不等幅の組に対して幅も異なり、 棒を比較することは密度を比較することである。茎葉図は元の値を保持する （逆向きの並べ替えで2つのグループを比較）。箱ひげ図は最小値、下四分位数、中央値、 上四分位数、最大値を示し、外れ値は問題文で指定されたルールに基づき、 ヒゲの先以外に独立した×印として表示される。

** worked example — ヒストグラムの高さの比（WST01 June 2025 Q5a）** 225 台の車の速度 幅 5, 5, 10, 15, 15 のクラスで、頻度が 54, 90, 60, 15, 6 である。密度は 10.8、18、6、1、0.4。最も高い棒グラフ（25–30、密度18）は10cmの高さで描かれているため、 2番目に高い棒グラフ（20–25、密度10.8）は$\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$cmとなる。注意： 30–40の棒グラフにも密度6がある——「60 ÷ 10」ではなく、比率による論理のみが採点対象となる。

集計データに対しては、中央値や四分位数を、 含まれる階級：$Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$。四分位範囲 は$Q_3 - Q_1$；分散は$\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$（または $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$）。グループ統合：合計$\sum x = \sum n_i\bar x_i$、 合計 $\sum x^2$ を直接加算し、その後数式を再適用する。標準偏差は分散の平方根である。変換は逆転する: $w = 11.5d$ 場合、 then $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ and $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

** worked example — combining two classes (WST01 June 2025 Q2).** クラスA: $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; クラスB: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; 54 統合した学生の平均値は 45 。 then $\sum x = 54(45) = 2430$ , so $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ and $b = 43.4$ . 統合された標準偏差: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$ . Bの得点がすべて 2 上昇する場合: Bの分散は変化しない（シフトは何も動かさない）、統合平均は増加する、 統合標準偏差は減少する — BがAに近づくため、全体としてばらつきが小さくなる。

** worked example — interpolation quartiles (WST01 June 2025 Q5c–d).** 累積 頻度 54 , 144 , 204 , 219 , 225 : 中央値は 112.5 番目の値であり、25 –30 に含まれる: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$ は 168.75番目、30–40 の内部です： $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$ なので、$Q_1 = 25.14$ が与えられれば、 $IQR = 8.985$.

距離を比較する：$(Q_3 - Q_2)$ と $(Q_2 - Q_1)$、または平均値と中央値。上記では、 $5.875 > 3.11$ (および平均 $30.6 >$ 中央値 $28.25$ )、したがって速度は正の歪みを示す （右に歪んだ）—— これが正規モデルが却下される理由でもあります。

標本空間から作業を始めます：公式を当てはめるよりも事柄をリストアップすることです。任意の2つの事象について、 $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ と $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$；独立 とは $P(B\mid A) = P(B)$ を意味し、積の法則を与えます。条件付き確率 は木図を逆順にします：$P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$。取り出しなしの場合、 2段目の分数は分子と分母がそれぞれ1ずつ減少します。

** worked example — ベン図から条件付き確率へ（WST01 June 2025 Q4）。** $P(C\cup D) = 0.59$、 $P(D) = 0.45$、$P(C\mid D) = 0.2$。次に $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ および $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ —— ベン図を埋めると、両方の答えが得られます。

** worked example — 逆順の木図（WST01 June 2025 Q7）。** 袋：3 白、6 黄；2個 取り出しなしで取り出します。木図：$\tfrac69, \tfrac39$、その後黄色なら $\tfrac58, \tfrac38$、 白色なら $\tfrac68, \tfrac28$。ちょうど1個が黄色： $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$ . 少なくとも1つ白: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. 少なくとも1つが白色の場合、両方とも白色： $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

積のモーメント相関係数 $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ は線形相関（$-1 \le r \le 1$）を測定し、文脈の中で解釈する。最小二乗法による 回帰直線 は $y$ を $x$ に対して表したものであり、$y = a + bx$ と $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ を持つ。 $a = \bar y - b\bar x$ — $x$ から $y$ を予測するためにのみ使用でき、データ範囲内でのみ有効である。 （外挿は注意すべき危険因子である）。$x$ と $y$ の位置を入れ替えると、直線も異なる。

** worked example — コード化された回帰 (WST01 June 2025 Q3)。** $w = 11.5d$ において、 $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ が 12 日間にわたって：$S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$； pmcc は$r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — 暖かい日はガス消費が少ない。 $w$ を $t$ に対する回帰：$b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$， $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$ , so $w = -3.46t + 30.9$ ; 除く 11.5 で割って $t$ における $d$ : $d = -0.301t + 2.69$ . $t = 2$ において: $d = 2.09$ m³ , そして追加ごとに 離散型確率変数は孤立した値を取り、その確率が$0.3$ に加算して³ となる。

その確率関数の表はこの対象である。 期待値 $p(x) = P(X = x)$，1， 期待値 $E(X) = \sum xp(x)$ , $E(X^2) = \sum x^2p(x)$ , 分散 $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ . 累積関数 $F(x_0) = P(X \le x_0)$ は確率を $x_0$ まで足し合わせる。離散一様分布は $1, \dots, n$ において $E(X) = \tfrac{n+1}2$ と $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$ を持つ。

計算例 — 完全な手順（WST01 6月 2025 Q1）。 X は確率 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 を持って 1–4 に分布する。$F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$。不等式 $3X - 3 < X + 2$ を解くと $X < 2.5$ となるため、$P = 0.5$ — ⟨$X$ をまず解き、その後加算する⟩。$E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; および $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ は符号化ルールにより得られる。

正規分布 $X\sim N(\mu, \sigma^2)$ に対しては、標準化を行う：$Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ を計算してから表を参照する。 対称性により半分の作業で済む：$P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ と $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. Reverse problems give $z$ from 表から $x = \mu + z\sigma$ を読み取り、同じ $k$ に対する2つの条件より連立方程式を解きます。

計算例 — 小麦粉のパック（WST01 6月 2025 Q6）。 小袋 $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$。4 個のパックのうち、ちょうど2 個が508 を超える。 $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$。大袋 $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ は第85百分位数 1038.51 ：$z_{0.85} = 1.0364$ であるため、$\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$ となる。もし $P(X > k) = P(Y < 2k)$ ならば、$\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$ となり、したがって$14k - 7028 = 3072 - 6k$ 。 $k = 505$ 、および$p = P(Z > 1) = 0.159$ 。

• 統計モデルが使われる理由をいくつか挙げよ。「安価かつ迅速」に加え、もう一つ追加せよ。
• 幅の異なる組について頻度密度を計算し、ヒストグラムの棒の比率で比較する。四分位値は所属する組内で補間し、指定されたルールに基づいて外れ値を示す。
• $\sum x$および$\sum x^2$を用いてデータセットを統合する；$S$の統計における逆コーディング；平均、分散、標準偏差に対するシフトやスケーリングの影響を予測する。
• 集合図と木線図から確率の問題を解く（交換あり・なし）；$P(A\cap B)/P(A)$を用いて逆条件式を扱う。
• $S$の統計から$r$を計算し解釈する；$y = a + bx$をフィットさせる；範囲内でのみ予測を行う；コーディングされたデータを元の変数に戻す。
• 離散確率変数のルーチンを実行する：確率は1に合算される；$X$、$E(X)$、$E(X^2)$、分散、線形コーディングの不等式を先に解き、一様分布の結果を引用する。
• 正規分布の問題について両方向で標準化する；対称性を利用する；2つの条件を持つ問題は連立方程式で解決する。